L'intégrale que nous avons calculée donne le résultat suivant :

\[
\langle x \rangle = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi^3}{3}
\]

C'est la position moyenne de votre personnage dans la prison.

### Interprétation
- **\(\frac{\pi}{2}\)** : Cette partie représente la contribution linéaire de la fonction d'onde à la position moyenne.
- **\(\frac{\pi^3}{3}\)** : Cette partie montre une contribution significative due à la forme de la fonction d'onde.

En combinant ces termes, la valeur de \(\langle x \rangle\) indique où votre personnage est le plus probablement situé dans la prison.

---

**Avez-vous des questions sur ce calcul ou sur sa signification?**

### Questions supplémentaires :
1. Comment interpréter les contributions \(\frac{\pi}{2}\) et \(\frac{\pi^3}{3}\) séparément?
2. Quelle est la signification physique de la position moyenne \(\langle x \rangle\) dans un puits de potentiel?
3. Comment ce calcul changerait-il si la fonction d'onde dépendait du temps?
4. Pourquoi la fonction d'onde est-elle normalisée, et comment cela affecte-t-il les résultats?
5. Comment calculer la variance de la position pour obtenir des informations sur la dispersion de la localisation du personnage?

**Tip :** Les solutions analytiques comme celles-ci sont souvent enrichissantes, mais dans les cas plus complexes, des approches numériques peuvent être plus pratiques et tout aussi précises.

Learn how to calculate the integral \( \langle x \rangle = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi^3}{3} \) representing the position average in quantum mechanics. This problem explores integral calculus and its application in determining the most probable position of a character in a prison based on wave function analysis.

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