Un alumno le preguntó a su profesor: “¿Qué edad tiene usted?”, y este le contestó: “El número de años que tengo coincide con la suma de elementos del conjunto H”. Si de los conjuntos 𝐺𝐺={𝑚𝑚2; 𝑛𝑛3; 2𝑚𝑚𝑚 } y 𝐻𝐻={𝑚𝑚+𝑛𝑛; 3𝑚𝑚+2𝑛𝑛; 3𝑛𝑛} solo uno de ellos es unitario, ¿calcula cuántos años tiene el profesor?
A) 44 B) 56 C) 32 D) 64 E) 40

Para resolver el problema, necesitamos analizar las propiedades de los conjuntos \( G \) y \( H \), y determinar cuál de ellos es unitario (tiene un solo elemento). Luego, la edad del profesor será igual a la suma de los elementos del conjunto \( H \).

### Análisis del Conjunto \( G \)
El conjunto \( G \) está definido como:
\[ G = \{ m^2, n^3, 2mn \} \]

Para que \( G \) sea unitario, las expresiones \( m^2 \), \( n^3 \) y \( 2mn \) deben ser iguales, ya que un conjunto unitario solo tiene un elemento.

Entonces, tenemos:
1. \( m^2 = n^3 \)
2. \( n^3 = 2mn \)

A partir de la primera ecuación:
\[ m = \sqrt{n^3} = n^{3/2} \]

Sustituyendo en la segunda ecuación:
\[ n^3 = 2n \cdot n^{3/2} \]
\[ n^3 = 2n^{5/2} \]

Simplificando:
\[ n^{1/2} = 2 \]
\[ n = 4 \]

Si \( n = 4 \), entonces \( m = 4^{3/2} = 8 \).

Verificamos:
1. \( m^2 = 8^2 = 64 \)
2. \( n^3 = 4^3 = 64 \)
3. \( 2mn = 2 \cdot 8 \cdot 4 = 64 \)

Por lo tanto, \( G = \{ 64 \} \), y \( G \) es un conjunto unitario.

### Análisis del Conjunto \( H \)
El conjunto \( H \) está definido como:
\[ H = \{ m + n, 3m + 2n, 3n \} \]

Sustituyendo \( m = 8 \) y \( n = 4 \) en \( H \):
1. \( m + n = 8 + 4 = 12 \)
2. \( 3m + 2n = 3(8) + 2(4) = 24 + 8 = 32 \)
3. \( 3n = 3(4) = 12 \)

El conjunto \( H \) tiene dos elementos diferentes (\( 12 \) y \( 32 \)), por lo que no es unitario.

### Conclusión
El conjunto \( G \) es el unitario, y el profesor tiene la edad igual a la suma de los elementos de \( H \):
\[ 12 + 32 + 12 = 56 \]

Por lo tanto, **la edad del profesor es 56 años**.

**Respuesta correcta: B) 56**

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta adicional sobre el problema?

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### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Qué significa que un conjunto sea unitario?
2. ¿Cómo se derivan las propiedades de los conjuntos a partir de las ecuaciones dadas?
3. ¿Qué ocurriría si \( G \) no fuera unitario? ¿Cómo afectaría eso la solución?
4. ¿Cómo se puede verificar que \( H \) no es unitario con otros valores de \( m \) y \( n \)?
5. ¿Qué otros métodos se pueden usar para resolver este tipo de problemas de conjuntos?
6. ¿Qué sucede si se elige un valor diferente para \( n \)? ¿Cómo cambia eso la solución?
7. ¿Por qué la suma de los elementos del conjunto \( H \) da la edad del profesor?
8. ¿Cómo se pueden aplicar estos conceptos de conjuntos en otros contextos matemáticos?

**Tip:** Siempre verifica si un conjunto es unitario verificando la igualdad de todas sus expresiones.

Explore how to determine the age of a professor using set theory and equations. This problem involves analyzing unitary sets, solving equations derived from set elements, and applying mathematical principles to determine the correct age. Suitable for high school students.

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