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In einer Urne befinden sich drei weiße und zwei schwarze Kugeln. Bei einem Zufallsex-periment werden nacheinander drei Kugeln gezogen. 
	
	a)	Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln mit Zurücklegen an. Begründen Sie, warum X binomialverteilt ist. Geben Sie den Parameter n und p an.
 	
	b)	Entscheiden Sie, welche der vier Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf das Experi-ment aus a) zutrifft. Begründen Sie ihre Wahl.
 	


### Teil a)

**Begründung, warum \( X \) binomialverteilt ist:**

Die Zufallsgröße \( X \) gibt die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln bei drei Zügen mit Zurücklegen an. Die Zufallsvariable \( X \) ist binomialverteilt, weil:

1. **Konstante Erfolgswahrscheinlichkeit**: Bei jedem Zug bleibt die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, konstant, weil die Kugeln nach jedem Zug zurückgelegt werden. Diese Wahrscheinlichkeit ist \( p = \frac{3}{5} \).

2. **Unabhängigkeit der Züge**: Da die Kugeln zurückgelegt werden, ist jeder Zug unabhängig von den anderen Zügen.

3. **Feste Anzahl von Versuchen**: Es werden genau drei Kugeln gezogen, also ist die Anzahl der Versuche \( n = 3 \).

4. **Zwei mögliche Ausgänge**: Jeder Zug kann entweder eine weiße (Erfolg) oder eine schwarze (Misserfolg) Kugel liefern.

**Parameter der Binomialverteilung:**
- \( n = 3 \) (Anzahl der Züge)
- \( p = \frac{3}{5} = 0,6 \) (Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen)

### Teil b)

**Identifizierung der richtigen Wahrscheinlichkeitsverteilung:**

Um die richtige Wahrscheinlichkeitsverteilung zu wählen, muss man die Wahrscheinlichkeiten für \( X \) berechnen, also für 0, 1, 2, und 3 weiße Kugeln bei drei Zügen.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung lautet:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\]
Hier: \( n = 3 \), \( p = 0,6 \).

Berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten:

1. **\( P(X = 0) \):** Keine weiße Kugel wird gezogen:
   \[
   P(X = 0) = \binom{3}{0} \cdot (0,6)^0 \cdot (0,4)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,064 = 0,064
   \]

2. **\( P(X = 1) \):** Eine weiße Kugel wird gezogen:
   \[
   P(X = 1) = \binom{3}{1} \cdot (0,6)^1 \cdot (0,4)^2 = 3 \cdot 0,6 \cdot 0,16 = 0,288
   \]

3. **\( P(X = 2) \):** Zwei weiße Kugeln werden gezogen:
   \[
   P(X = 2) = \binom{3}{2} \cdot (0,6)^2 \cdot (0,4)^1 = 3 \cdot 0,36 \cdot 0,4 = 0,432
   \]

4. **\( P(X = 3) \):** Drei weiße Kugeln werden gezogen:
   \[
   P(X = 3) = \binom{3}{3} \cdot (0,6)^3 \cdot (0,4)^0 = 1 \cdot 0,216 \cdot 1 = 0,216
   \]

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung sieht also wie folgt aus:
- \( P(X = 0) = 0,064 \)
- \( P(X = 1) = 0,288 \)
- \( P(X = 2) = 0,432 \)
- \( P(X = 3) = 0,216 \)

**Vergleich mit den gegebenen Verteilungen:**

Nun vergleiche diese Wahrscheinlichkeiten mit den Wahrscheinlichkeitsverteilungen in den vier gegebenen Diagrammen. Das dritte Diagramm von links (das zweite von rechts) passt zu den berechneten Wahrscheinlichkeiten und zeigt, dass \( X \) die richtige Verteilung für dieses Experiment ist.

- **0**: Etwa 0,06 (entspricht \( P(X=0) = 0,064 \))
- **1**: Etwa 0,29 (entspricht \( P(X=1) = 0,288 \))
- **2**: Etwa 0,43 (entspricht \( P(X=2) = 0,432 \))
- **3**: Etwa 0,22 (entspricht \( P(X=3) = 0,216 \))

**Fazit:**
Das dritte Diagramm von links entspricht der Wahrscheinlichkeitsverteilung für \( X \).

Möchtest du weitere Details zu den Berechnungen oder hast du Fragen?

Hier sind 8 relative Fragen:

1. Was passiert, wenn man ohne Zurücklegen zieht? Wie ändert sich die Verteilung?
2. Wie ändert sich die Verteilung, wenn man vier Kugeln zieht?
3. Welche Auswirkungen hat eine andere Anzahl weißer und schwarzer Kugeln auf die Verteilung?
4. Wie würde sich die Verteilung ändern, wenn es mehr als zwei Farben gibt?
5. Was passiert, wenn die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, ändert?
6. Wie wäre die Verteilung, wenn man mit einer unendlichen Anzahl von Zügen rechnen könnte?
7. Wie kann man die Wahrscheinlichkeiten grafisch darstellen?
8. Was bedeutet es, wenn eine Verteilung symmetrisch ist?

**Tipp:** Bei binomialverteilten Zufallsgrößen ist es hilfreich, das Konzept des Erwartungswerts und der Varianz zu verstehen, um ein tieferes Verständnis der Verteilung zu gewinnen.

Understand binomial distribution in probability theory with a detailed example of drawing balls from an urn. Learn how to calculate probabilities using the binomial probability formula. Suitable for advanced high school students studying probability.

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