resuelvelo con distribuicion binomial:En una facultad, la probabilidad de que un alumno apruebe el semestre es del 80%. Si consideramos  8 alumnos, ¿Cuál es la probabilidad de que dos ganen.  .

El problema describe una situación en la que tenemos 8 alumnos, y la probabilidad de que un alumno apruebe el semestre es del 80%, o 0.8. Nos interesa encontrar la probabilidad de que exactamente **2 alumnos** aprueben el semestre, lo cual corresponde a una **distribución binomial**.

La fórmula de la distribución binomial es:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
\]

Donde:
- \(n\) es el número total de ensayos (alumnos), en este caso \(n = 8\).
- \(k\) es el número de éxitos deseados (alumnos que aprueban), en este caso \(k = 2\).
- \(p\) es la probabilidad de éxito (probabilidad de que un alumno apruebe), en este caso \(p = 0.8\).
- \(1 - p\) es la probabilidad de fracaso (probabilidad de que un alumno no apruebe), en este caso \(1 - 0.8 = 0.2\).

Primero, calculamos el coeficiente binomial \(\binom{n}{k}\):

\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28
\]

Luego, aplicamos la fórmula de la distribución binomial:

\[
P(X = 2) = 28 \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^6
\]

Ahora vamos a calcularlo.La probabilidad de que exactamente 2 de los 8 alumnos aprueben el semestre es aproximadamente **0.00115**, o el **0.115%**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo cambiaría la probabilidad si consideramos que aprueban 3 alumnos?
2. ¿Cómo afecta la probabilidad si aumentamos el número de alumnos a 10?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún alumno apruebe?
4. ¿Qué sucede si la probabilidad de aprobar es del 90% en lugar del 80%?
5. ¿Cómo se calcula la probabilidad de que al menos 5 alumnos aprueben?

### Tip:
La suma de las probabilidades para todos los posibles valores de \(k\) (de 0 a \(n\)) en una distribución binomial siempre es 1.

Resuélvelo con distribución binomial: En una facultad, la probabilidad de que un alumno apruebe el semestre es del 80%. Si consideramos 8 alumnos, ¿Cuál es la probabilidad de que dos ganen?

Explore how to calculate the probability of exactly 2 out of 8 students passing a semester with an 80% success rate using the binomial distribution. This problem involves key concepts in probability, such as the binomial theorem and the binomial probability formula. Suitable for students in Grades 10-12.

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