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Se inscribe un cuadrado dentro de un 
triángulo rectángulo de 4 cm en la base por 6 
cm de altura, como se muestra en la figura.  
Determine el área del cuadrado.

Para resolver el problema de determinar el área del cuadrado inscrito en un triángulo rectángulo, primero analicemos la situación.

### Datos del problema:
- Base del triángulo (\( b \)) = 4 cm
- Altura del triángulo (\( h \)) = 6 cm

### Proceso para encontrar el área del cuadrado:
1. **Área del triángulo:**
   El área del triángulo se calcula como:
   \[
   \text{Área del triángulo} = \frac{1}{2} \times b \times h = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12 \, \text{cm}^2
   \]

2. **Relación entre el triángulo y el cuadrado inscrito:**
   Sea \( x \) la longitud del lado del cuadrado inscrito. Por similaridad de triángulos, las proporciones de los lados correspondientes son iguales. El triángulo grande tiene base 4 cm y altura 6 cm, y el triángulo pequeño (formado por el cuadrado inscrito) tiene base \( b' \) y altura \( h' \).

   La proporción de semejanza nos da:
   \[
   \frac{b - x}{x} = \frac{h - x}{h}
   \]
   Reemplazando los valores conocidos:
   \[
   \frac{4 - x}{x} = \frac{6 - x}{6}
   \]
   Simplificamos y resolvemos para \( x \):
   \[
   6(4 - x) = x(6 - x)
   \]
   \[
   24 - 6x = 6x - x^2
   \]
   \[
   x^2 - 12x + 24 = 0
   \]

3. **Resolviendo la ecuación cuadrática:**
   La ecuación cuadrática se puede resolver usando la fórmula general:
   \[
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   \]
   Donde \( a = 1 \), \( b = -12 \), y \( c = 24 \):
   \[
   x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2}
   \]
   \[
   x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{3}
   \]

   Como \( x \) debe ser positivo y menor que 4, tomamos \( x = 6 - 2\sqrt{3} \).

4. **Área del cuadrado:**
   \[
   \text{Área del cuadrado} = x^2 = (6 - 2\sqrt{3})^2 = 36 - 24\sqrt{3} + 12 = 48 - 24\sqrt{3} \, \text{cm}^2
   \]

Esta es el área del cuadrado inscrito.

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta sobre el proceso? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que podrías explorar:

1. ¿Cómo se determina el área de un cuadrado dado su lado?
2. ¿Qué propiedades tienen los triángulos semejantes?
3. ¿Cómo se aplica la semejanza de triángulos en otros problemas geométricos?
4. ¿Qué es la fórmula cuadrática y cuándo se usa?
5. ¿Cómo se calcula el discriminante de una ecuación cuadrática?
6. ¿Qué otras figuras geométricas pueden inscribirse en un triángulo rectángulo?
7. ¿Cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas con raíces irracionales?
8. ¿Qué métodos alternativos existen para encontrar el área de figuras inscritas?

**Tip:** La semejanza de triángulos es una herramienta poderosa en geometría para resolver problemas de proporciones y áreas. Asegúrate de comprender bien este concepto para aplicarlo eficazmente en otros contextos.

Descubre cómo calcular el área del cuadrado inscrito en un triángulo rectángulo de 4 cm de base y 6 cm de altura. Incluye una solución paso a paso utilizando conceptos de geometría y ecuaciones cuadráticas. Adecuado para estudiantes de Grados 9-12.

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