Aproxime la integral definida  ∫_1^5▒〖(5x^2)/√x dx〗 mediante la suma de Riemann por punto izquierdo, con n=6

Para aproximar la integral definida \(\int_1^5 \frac{5x^2}{\sqrt{x}} \, dx\) utilizando la suma de Riemann por el punto izquierdo con \(n = 6\), seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Definir la función y los límites
La función a integrar es \( f(x) = \frac{5x^2}{\sqrt{x}} = 5x^{3/2} \), y los límites de la integral son \(a = 1\) y \(b = 5\).

### Paso 2: Calcular el ancho de los subintervalos
El intervalo de integración \([1, 5]\) se divide en \(n = 6\) subintervalos, por lo tanto, el ancho de cada subintervalo es:
\[
\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.
\]

### Paso 3: Calcular los puntos izquierdos
Los puntos izquierdos son los extremos de los subintervalos (excepto el derecho del último), dados por:
\[
x_i = a + (i-1)\Delta x, \quad \text{para} \quad i = 1, 2, \dots, 6.
\]
Esto nos da los puntos:
\[
x_1 = 1, \quad x_2 = 1 + \frac{2}{3}, \quad x_3 = 1 + 2\left(\frac{2}{3}\right), \dots, \quad x_6 = 1 + 5\left(\frac{2}{3}\right).
\]
Simplificando, obtenemos los puntos:
\[
x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{5}{3}, \quad x_3 = \frac{7}{3}, \quad x_4 = 3, \quad x_5 = \frac{11}{3}, \quad x_6 = \frac{13}{3}.
\]

### Paso 4: Evaluar la función en los puntos izquierdos
Ahora evaluamos la función \( f(x) = 5x^{3/2} \) en cada uno de los puntos \(x_1, x_2, \dots, x_6\):
\[
f(x_1) = 5(1)^{3/2} = 5,
\]
\[
f(x_2) = 5\left(\frac{5}{3}\right)^{3/2},
\]
\[
f(x_3) = 5\left(\frac{7}{3}\right)^{3/2},
\]
\[
f(x_4) = 5(3)^{3/2},
\]
\[
f(x_5) = 5\left(\frac{11}{3}\right)^{3/2},
\]
\[
f(x_6) = 5\left(\frac{13}{3}\right)^{3/2}.
\]

### Paso 5: Calcular la suma de Riemann
La suma de Riemann por el punto izquierdo está dada por:
\[
S_L = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x.
\]
Sustituyendo los valores de \(f(x_i)\) y \(\Delta x = \frac{2}{3}\), tenemos:
\[
S_L = \frac{2}{3} \left[ f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) + f(x_5) + f(x_6) \right].
\]
Esto nos da una aproximación de la integral.

### Paso 6: Resultado numérico
Evaluemos las expresiones numéricas para obtener el valor aproximado de la integral.La aproximación de la integral \(\int_1^5 \frac{5x^2}{\sqrt{x}} \, dx\) mediante la suma de Riemann por el punto izquierdo con \(n = 6\) es aproximadamente \(93.18\).

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna otra pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo cambia la precisión al aumentar el valor de \(n\) en la suma de Riemann?
2. ¿Qué es una suma de Riemann por el punto derecho?
3. ¿Cómo se compara la suma de Riemann con la regla del trapecio?
4. ¿Cómo afectaría la elección de \(n\) en el error de aproximación de esta integral?
5. ¿Cómo se relaciona la suma de Riemann con la integral definida?

**Tip:** Las sumas de Riemann son útiles para entender la integración antes de aprender técnicas más avanzadas como la integración analítica.

Aproxime la integral definida ∫_1^5 (5x^2)/√x dx mediante la suma de Riemann por punto izquierdo, con n=6

Aprende cómo aproximar la integral ∫_1^5 (5x^2)/√x dx usando la suma de Riemann por el punto izquierdo con n=6. Este problema incluye conceptos de cálculo integral, sumas de Riemann y el uso de subintervalos para obtener una solución aproximada. Apto para estudiantes de secundaria avanzada.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation