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Veo que has subido una imagen que contiene varias funciones \( f(x) \). Mencionaste la **regla de la cadena**. Para aplicarla, vamos a necesitar derivar estas funciones.

La **regla de la cadena** se usa cuando una función está compuesta por otras funciones, y se expresa de la siguiente manera:

\[
\frac{d}{dx} \left[ g(f(x)) \right] = g'(f(x)) \cdot f'(x)
\]

Esto significa que primero derivamos la función exterior y luego multiplicamos por la derivada de la función interior.

A continuación, vamos a derivar algunas de las funciones que aparecen en tu imagen utilizando la regla de la cadena:

1. \( f(x) = \pi x^8 \)
   - Derivada: \( f'(x) = 8\pi x^7 \)
   
2. \( f(x) = -15x^{\frac{5}{3}} + 4x^{\frac{7}{3}} \)
   - Derivada: \( f'(x) = -15 \cdot \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 4 \cdot \frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} \)

3. \( f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 5 \)
   - Derivada: \( f'(x) = 12x^3 - 4x + 1 \)

7. \( f(x) = \sqrt[5]{x^{\frac{2}{3}}} \)
   - \( f(x) = x^{\frac{2}{15}} \)
   - Derivada: \( f'(x) = \frac{2}{15}x^{-\frac{13}{15}} \)

15. \( f(x) = \frac{x^2 + 2}{2x - 7} \)
   - Usamos la regla del cociente:
   - Derivada: \( f'(x) = \frac{(2x)(2x - 7) - (x^2 + 2)(2)}{(2x - 7)^2} \)

Estas son algunas de las derivadas aplicando la regla de la cadena o del cociente. Si quieres más detalles de alguna otra función o derivada, no dudes en decirme.

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Quieres derivar alguna otra función específica de la lista?
2. ¿Necesitas una explicación más detallada de cómo se aplica la regla de la cadena?
3. ¿Quieres ver la simplificación de alguna de las derivadas que he calculado?
4. ¿Te gustaría una explicación más profunda sobre cómo funciona la regla del cociente?
5. ¿Te interesa ver cómo se aplica la regla de la cadena a funciones trigonométricas o exponenciales?

### Tip:
Cuando estés derivando funciones compuestas, siempre identifica claramente cuál es la función interior y cuál es la función exterior antes de aplicar la regla de la cadena.

The query submitted by the user: Regla de la cadena

Learn how to apply the Chain Rule to differentiate complex functions. This solution covers key calculus concepts such as the Chain Rule and Quotient Rule, with step-by-step derivations of functions. Suitable for students in Grades 11-12.

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