Resolver paso a paso

Una empresa de moda realiza una inversión inicial de 8000 dólares para diseñar y producir una línea de camisetas personalizadas. El costo total de fabricación de cada camiseta es de 8 dólares. Además, la empresa debe pagar a los diseñadores 1 dólar por cada camiseta vendida en concepto de royalties. Según un estudio de mercado, se ha determinado que el precio de venta de cada camiseta será de 22 dólares. Determine:

a) La función de Utilidad U(x) donde x representa la cantidad de camisetas personalizadas fabricadas.

b) El dominio de la función obtenida en a), en el contexto del problema, y especifique cual es la variable dependiente e independiente.

c) La Utilidad al vender 2200 camisetas personalizadas.

d) El número aproximado de camisetas personalizadas, que deben venderse para que la empresa tenga una utilidad de 92000 dólares.

Vamos a resolver cada apartado paso a paso.

### **a) La función de Utilidad $ U(x) $**

La **utilidad** se define como la diferencia entre los **ingresos** y los **costos totales**.

- **Ingreso total**: Es el dinero que la empresa recibe al vender las camisetas. Como el precio de venta de cada camiseta es de 22 dólares, el ingreso total para $ x $ camisetas vendidas es:

\[
Ingreso\ total = 22x
\]

- **Costo total**: Se compone de dos partes:
  1. **Costo inicial**: La inversión inicial de 8000 dólares.
  2. **Costo por cada camiseta fabricada**: Cada camiseta tiene un costo de producción de 8 dólares y un royalty de 1 dólar. Por lo tanto, el costo por camiseta es $ 8 + 1 = 9 $ dólares. Entonces, el costo total para $ x $ camisetas es:

\[
Costo\ total = 8000 + 9x
\]

- **Utilidad**: La utilidad es la diferencia entre el ingreso total y el costo total:

\[
U(x) = Ingreso\ total - Costo\ total
\]

Sustituyendo las expresiones obtenidas:

\[
U(x) = 22x - (8000 + 9x)
\]

Simplificando:

\[
U(x) = 22x - 8000 - 9x
\]

\[
U(x) = 13x - 8000
\]

Por lo tanto, la **función de utilidad** es:

\[
U(x) = 13x - 8000
\]

### **b) Dominio de la función obtenida y variables**

- **Dominio**: La variable $ x $ representa la cantidad de camisetas producidas y vendidas. Como $ x $ debe ser un número entero y positivo (no tiene sentido producir una fracción de camiseta o una cantidad negativa), el dominio de la función en el contexto del problema será:

\[
Dominio: \{ x \in \mathbb{Z}^+ | x \geq 0 \}
\]

Esto significa que el dominio son todos los números enteros positivos (incluyendo el cero).

- **Variable independiente**: $ x $ (cantidad de camisetas fabricadas y vendidas).
- **Variable dependiente**: $ U(x) $ (utilidad obtenida en función de la cantidad de camisetas vendidas).

### **c) Utilidad al vender 2200 camisetas personalizadas**

Para calcular la utilidad cuando se venden 2200 camisetas, sustituimos $ x = 2200 $ en la función de utilidad $ U(x) = 13x - 8000 $:

\[
U(2200) = 13(2200) - 8000
\]

\[
U(2200) = 28600 - 8000
\]

\[
U(2200) = 20600
\]

Por lo tanto, la utilidad al vender 2200 camisetas es **20600 dólares**.

### **d) Número de camisetas necesarias para obtener una utilidad de 92000 dólares**

Para encontrar el número de camisetas necesarias para obtener una utilidad de 92000 dólares, igualamos $ U(x) $ a 92000 y resolvemos para $ x $:

\[
U(x) = 13x - 8000 = 92000
\]

Sumamos 8000 a ambos lados:

\[
13x = 92000 + 8000
\]

\[
13x = 100000
\]

Dividimos ambos lados entre 13:

\[
x = \frac{100000}{13}
\]

\[
x \approx 7692.31
\]

Dado que $ x $ debe ser un número entero, podemos redondear el valor a **7692 camisetas**.

### Resumen:

a) $ U(x) = 13x - 8000 $  
b) Dominio: $ \{ x \in \mathbb{Z}^+ | x \geq 0 \} $, variable independiente: $ x $, variable dependiente: $ U(x) $  
c) La utilidad al vender 2200 camisetas es 20600 dólares  
d) Para obtener una utilidad de 92000 dólares, deben venderse aproximadamente 7692 camisetas

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¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

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Aquí hay algunas preguntas adicionales para expandir el tema:

1. ¿Cómo cambiaría la función de utilidad si los costos iniciales fueran diferentes?
2. ¿Cómo afectaría un cambio en el precio de venta a la cantidad de camisetas necesarias para obtener una utilidad deseada?
3. ¿Qué ocurriría si los royalties aumentaran de 1 a 2 dólares por camiseta?
4. ¿Cómo calcular la utilidad si el costo por camiseta disminuye?
5. ¿Cuál sería el punto de equilibrio en este negocio?

**Tip**: El punto de equilibrio se alcanza cuando la utilidad es cero, es decir, cuando los ingresos igualan a los costos.

Una empresa de moda realiza una inversión inicial de 8000 dólares para diseñar y producir una línea de camisetas personalizadas. El costo total de fabricación de cada camiseta es de 8 dólares. Además, la empresa debe pagar a los diseñadores 1 dólar por cada camiseta vendida en concepto de royalties. Según un estudio de mercado, se ha determinado que el precio de venta de cada camiseta será de 22 dólares. Determine: a) La función de Utilidad U(x) donde x representa la cantidad de camisetas personalizadas fabricadas. b) El dominio de la función obtenida en a), en el contexto del problema, y especifique cual es la variable dependiente e independiente. c) La Utilidad al vender 2200 camisetas personalizadas. d) El número aproximado de camisetas personalizadas, que deben venderse para que la empresa tenga una utilidad de 92000 dólares.

Learn how to calculate the profit for a custom T-shirt business. This example covers linear functions, including the formula for profit U(x) = 13x - 8000, the domain and range, and solutions for 2200 units and $92,000 profit. Suitable for high school students.

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