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Calcular las transformadas haciendo uso de la tabla de transformadas básicas de Laplace:

Para resolver la transformada de Laplace de la función \( f(t) = e^{-4t} \cos(\sqrt{3}t) - t^2 e^{-2t} \), usaremos la tabla de transformadas básicas de Laplace.

### Paso 1: Transformada de \( e^{-4t} \cos(\sqrt{3}t) \)
Sabemos que la transformada de Laplace de \( e^{-at} \cos(bt) \) es:

\[
\mathcal{L}\{e^{-at} \cos(bt)\} = \frac{s + a}{(s + a)^2 + b^2}
\]

En este caso, \( a = 4 \) y \( b = \sqrt{3} \), entonces:

\[
\mathcal{L}\{e^{-4t} \cos(\sqrt{3}t)\} = \frac{s + 4}{(s + 4)^2 + 3}
\]

### Paso 2: Transformada de \( t^2 e^{-2t} \)
Para la transformada de \( t^2 e^{-at} \), usamos la propiedad que dice que \( \mathcal{L}\{t^n e^{-at}\} = \frac{n!}{(s+a)^{n+1}} \) donde \( n = 2 \) y \( a = 2 \).

\[
\mathcal{L}\{t^2 e^{-2t}\} = \frac{2!}{(s + 2)^3} = \frac{2}{(s + 2)^3}
\]

### Paso 3: Sumando las transformadas
Finalmente, sumamos las transformadas individuales para obtener la transformada de Laplace de \( f(t) \):

\[
\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{s + 4}{(s + 4)^2 + 3} - \frac{2}{(s + 2)^3}
\]

### Resultado Final:
La transformada de Laplace de \( f(t) = e^{-4t} \cos(\sqrt{3}t) - t^2 e^{-2t} \) es:

\[
\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{s + 4}{(s + 4)^2 + 3} - \frac{2}{(s + 2)^3}
\]

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o más ejemplos de cómo aplicar las transformadas de Laplace?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se obtiene la transformada de Laplace de \( \sin(bt) \)?
2. ¿Qué propiedad de la transformada de Laplace se usa para funciones multiplicadas por \( t^n \)?
3. ¿Cómo se calcula la inversa de una transformada de Laplace?
4. ¿Cómo afecta el factor exponencial \( e^{-at} \) en una transformada de Laplace?
5. ¿Qué sucede cuando se aplican condiciones iniciales a una ecuación diferencial con transformadas de Laplace?

### Tip:
Recuerda que las propiedades de desplazamiento en el dominio del tiempo y frecuencia son muy útiles para simplificar el cálculo de las transformadas de Laplace.

Calcular las transformadas haciendo uso de la tabla de transformadas básicas de Laplace

Explore the detailed steps to calculate the Laplace Transform of e^{-4t} cos(√3t) and t^2 e^{-2t} using basic Laplace Transform tables. This guide is suitable for advanced mathematics students and includes explanations of exponential functions, trigonometric functions, and polynomials.

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