Seja f a função definida por: f(x) = (
1 − x, se x ≤ 1
−x
2
, se x > 1
. Determine f(0), f(1), f(2), esboce seu gráfico e
determine sua imagem.

Vamos analisar a função $ f(x) $ definida por:

\[ f(x) = 
\begin{cases} 
1 - x, & \text{se } x \leq 1 \\
-x^2, & \text{se } x > 1 
\end{cases}
\]

1. **Calcular $ f(0) $**:
   Como $ 0 \leq 1 $, usamos a primeira definição da função:
   \[ f(0) = 1 - 0 = 1 \]

2. **Calcular $ f(1) $**:
   Como $ 1 \leq 1 $, usamos a primeira definição da função:
   \[ f(1) = 1 - 1 = 0 \]

3. **Calcular $ f(2) $**:
   Como $ 2 > 1 $, usamos a segunda definição da função:
   \[ f(2) = -2^2 = -4 \]

4. **Esboçar o gráfico de $ f(x) $**:
   Para esboçar o gráfico, precisamos considerar as duas partes da função:
   - Para $ x \leq 1 $, $ f(x) = 1 - x $, que é uma reta decrescente com intercepto $ y = 1 $ e inclinação $-1$.
   - Para $ x > 1 $, $ f(x) = -x^2 $, que é uma parábola voltada para baixo.

Vamos plotar o gráfico a seguir.

5. **Determinar a imagem da função**:
   - Para $ x \leq 1 $, a função $ f(x) = 1 - x $ varia de $ 1 $ (quando $ x = 0 $) até $ 0 $ (quando $ x = 1 $).
   - Para $ x > 1 $, a função $ f(x) = -x^2 $ é uma parábola que decresce indefinidamente, então seus valores variam de $ 0 $ (excluindo) para $-\infty$.

A imagem da função $ f(x) $ é $(-\infty, 0] \cup \{1\}$.

Vou agora gerar o gráfico correspondente.

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definindo as partes da função
x1 = np.linspace(-2, 1, 400)
y1 = 1 - x1

x2 = np.linspace(1, 3, 400)
y2 = -x2**2

# Plotando o gráfico
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x1, y1, label='$f(x) = 1 - x$ para $x \leq 1$', color='blue')
plt.plot(x2, y2, label='$f(x) = -x^2$ para $x > 1$', color='red')
plt.scatter([0, 1, 2], [1, 0, -4], color='black', zorder=5)  # Pontos calculados
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$f(x)$')
plt.title('Gráfico da função $f(x)$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.show()
```

Aqui está o esboço do gráfico:

(Gráfico sendo gerado)

**Recapitulando:**
- $ f(0) = 1 $
- $ f(1) = 0 $
- $ f(2) = -4 $
- Imagem: $ (-\infty, 0] \cup \{1\} $

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma pergunta?

Aqui estão 5 perguntas que você pode querer fazer:
1. Como resolver uma função definida por partes?
2. Como determinar a imagem de uma função?
3. Como esboçar gráficos de funções definidas por partes?
4. Quais são as propriedades das funções lineares e quadráticas?
5. Como encontrar o domínio de uma função?

**Dica:** Para esboçar gráficos de funções definidas por partes, identifique claramente as diferentes definições e trace cada parte dentro de seu intervalo apropriado.

Explore the piecewise function f(x) = 1 - x for x ≤ 1 and f(x) = -x^2 for x > 1, including calculations for f(0), f(1), and f(2), graph plotting, and determining the image of the function. Suitable for high school students learning about piecewise and quadratic functions.

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