Dada la funcion por tramos:

f(x)  : { (-x² + 1) para x<0 ;  k para x=0 ; (x² - 1) para x > 0  } 

Para analizar y describir la función por tramos \( f(x) \) dada, debemos considerar cada uno de los segmentos de la función y sus implicaciones. La función está definida como sigue:

\[ f(x) = \begin{cases} 
-x^2 + 1 & \text{si } x < 0 \\ 
k & \text{si } x = 0 \\ 
x^2 - 1 & \text{si } x > 0 
\end{cases} \]

### Análisis de cada tramo de la función:

1. **Para \( x < 0 \)**:
   La función es \( f(x) = -x^2 + 1 \). Esta es una parábola que abre hacia abajo con vértice en el punto \((0, 1)\). Para \( x < 0 \), los valores de \( f(x) \) disminuyen desde 1 hacia valores negativos.

2. **Para \( x = 0 \)**:
   La función toma un valor constante \( k \).

3. **Para \( x > 0 \)**:
   La función es \( f(x) = x^2 - 1 \). Esta es una parábola que abre hacia arriba con vértice en el punto \((0, -1)\). Para \( x > 0 \), los valores de \( f(x) \) aumentan desde -1 hacia valores positivos.

### Continuidad de la función:

Para que la función \( f(x) \) sea continua en \( x = 0 \), los límites laterales deben coincidir con el valor de la función en ese punto. Es decir, necesitamos que:

\[ \lim_{{x \to 0^-}} f(x) = f(0) = \lim_{{x \to 0^+}} f(x) \]

Calculamos los límites laterales:

- Límite cuando \( x \) se aproxima a 0 por la izquierda (\( x \to 0^- \)):

\[ \lim_{{x \to 0^-}} (-x^2 + 1) = -0^2 + 1 = 1 \]

- Límite cuando \( x \) se aproxima a 0 por la derecha (\( x \to 0^+ \)):

\[ \lim_{{x \to 0^+}} (x^2 - 1) = 0^2 - 1 = -1 \]

Para que la función sea continua en \( x = 0 \), debe cumplirse:

\[ 1 = k = -1 \]

Esto implica una contradicción porque \( k \) no puede ser simultáneamente 1 y -1. Por lo tanto, la función \( f(x) \) no puede ser continua en \( x = 0 \).

### Resumen:
- La función es una parábola invertida para \( x < 0 \).
- La función toma un valor constante \( k \) en \( x = 0 \).
- La función es una parábola normal para \( x > 0 \).
- La función no es continua en \( x = 0 \) porque los límites laterales no coinciden.

¿Quieres más detalles sobre algún aspecto específico o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se determinan los puntos de discontinuidad de una función?
2. ¿Qué métodos se utilizan para verificar la continuidad de una función en un punto?
3. ¿Cuál es el papel del límite en la definición de continuidad?
4. ¿Cómo se grafican funciones por tramos?
5. ¿Qué sucede si se cambia el valor de \( k \) en la función dada?
6. ¿Cómo afectan las propiedades de una parábola (vértice, apertura) a su gráfica?
7. ¿Qué otros tipos de discontinuidad existen además de la discontinuidad de salto?
8. ¿Cómo se resuelven los límites laterales de funciones más complejas?

### Tip:
Cuando verifiques la continuidad de una función en un punto, siempre recuerda evaluar los límites laterales y compararlos con el valor de la función en ese punto.

Explore the piecewise function f(x) = {-x^2 + 1 for x < 0; k for x = 0; x^2 - 1 for x > 0}. Understand the behavior of each segment, continuity at x = 0, and implications of different values of k. Suitable for advanced high school students and beyond.

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