Representa la función f(x) = (x2 - 2x + 4)/2 - x calculando para ello a) el dominio, b) asíntotas, c) crecimiento/decrecimiento, máximos y mínimos. Escribe la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 1

Para resolver la función \( f(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{2} - x \), vamos a seguir los pasos solicitados.

### a) Dominio
La función es un polinomio cuadrático dividido entre 2 y luego restado por \( x \). Como no hay divisiones por cero ni raíces cuadradas de números negativos involucradas, el dominio es todo el conjunto de los números reales.

\[
\boxed{D(f) = \mathbb{R}}
\]

### b) Asíntotas
Vamos a ver si hay alguna asíntota vertical u horizontal. Ya que es una función polinómica, no hay asíntotas verticales. Para las asíntotas horizontales, se analiza el comportamiento de la función cuando \( x \to \infty \).

\[
f(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{2} - x = \frac{1}{2}(x^2 - 2x + 4) - x
\]

Cuando \( x \to \infty \), el término dominante es \( \frac{1}{2}x^2 \), lo que significa que la función crece indefinidamente. Por lo tanto, no hay asíntotas horizontales.

Conclusión: no hay asíntotas en esta función.

### c) Crecimiento/Decrecimiento, Máximos y Mínimos
Para analizar el comportamiento de crecimiento y decrecimiento, hallamos la primera derivada de la función \( f(x) \).

\[
f(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 2x + 4) - x
\]

Calculamos la derivada:

\[
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}(x^2 - 2x + 4) - x \right) = \frac{1}{2}(2x - 2) - 1
\]
\[
f'(x) = x - 1 - 1 = x - 2
\]

Para encontrar los puntos críticos, igualamos \( f'(x) = 0 \):

\[
x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]

Ahora, hacemos el análisis de la derivada para determinar si la función es creciente o decreciente alrededor del punto \( x = 2 \):

- Si \( x < 2 \), \( f'(x) < 0 \), por lo que la función es decreciente.
- Si \( x > 2 \), \( f'(x) > 0 \), por lo que la función es creciente.

Por lo tanto, en \( x = 2 \) hay un **mínimo relativo**. Ahora calculamos el valor de la función en \( x = 2 \):

\[
f(2) = \frac{1}{2}(2^2 - 2(2) + 4) - 2 = \frac{1}{2}(4 - 4 + 4) - 2 = \frac{4}{2} - 2 = 2 - 2 = 0
\]

El punto mínimo es \( (2, 0) \).

### d) Ecuación de la recta tangente en \( x = 1 \)

La ecuación de la recta tangente en un punto está dada por la fórmula:

\[
y - f(a) = f'(a)(x - a)
\]

Donde \( a = 1 \), \( f(a) \) es el valor de la función en \( x = 1 \), y \( f'(a) \) es la derivada evaluada en \( x = 1 \).

Primero calculamos \( f(1) \):

\[
f(1) = \frac{1}{2}(1^2 - 2(1) + 4) - 1 = \frac{1}{2}(1 - 2 + 4) - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}
\]

Ahora, evaluamos la derivada en \( x = 1 \):

\[
f'(1) = 1 - 2 = -1
\]

Sustituimos en la fórmula de la recta tangente:

\[
y - \frac{1}{2} = -1(x - 1)
\]

Simplificando:

\[
y - \frac{1}{2} = -x + 1
\]
\[
y = -x + 1 + \frac{1}{2} = -x + \frac{3}{2}
\]

La ecuación de la recta tangente en \( x = 1 \) es:

\[
\boxed{y = -x + \frac{3}{2}}
\]

---

¿Te gustaría ver más detalles de algún paso o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se puede obtener la segunda derivada para estudiar la concavidad?
2. ¿Cómo se comporta la función cuando \( x \to -\infty \)?
3. ¿Cuál es la importancia de los puntos críticos en el análisis de una función?
4. ¿Cómo afecta el término cuadrático a la forma gráfica de la función?
5. ¿Cómo se interpreta la pendiente de una recta tangente?

**Tip**: Al encontrar máximos y mínimos, la primera derivada revela puntos críticos donde la función cambia su comportamiento.

Explore the function f(x) = (x² - 2x + 4)/2 - x, covering key topics such as domain, growth and decay behavior, asymptotes, and the tangent line at x = 1. This detailed solution involves algebraic and calculus concepts, ideal for Grades 10-12.

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