Cual de la siguientes integrales definidas permite calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la grafica de f(x)=4-x^2 en el intervalo [-1,1]

Para calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la gráfica de la función \( f(x) = 4 - x^2 \) en el intervalo \([-1, 1]\), utilizamos el método de discos o anillos, dependiendo del eje de rotación. En este caso, parece que la rotación se está realizando alrededor del eje \(x\), por lo que utilizaremos el **método de discos**.

### Fórmula del volumen utilizando el método de discos:

El volumen \(V\) de un sólido de revolución al rotar una función \(f(x)\) alrededor del eje \(x\) se calcula como:

\[
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx
\]

### Aplicando la fórmula:

Dado que \( f(x) = 4 - x^2 \) y el intervalo es \([-1, 1]\), la integral definida que permite calcular el volumen del sólido generado es:

\[
V = \pi \int_{-1}^{1} (4 - x^2)^2 \, dx
\]

### Explicación:
- \( f(x) = 4 - x^2 \) es la función cuya gráfica se rota.
- El intervalo de integración es \([-1, 1]\).
- Al elevar \( f(x) \) al cuadrado, obtenemos la fórmula para el área de los discos.
- La constante \( \pi \) aparece debido a la rotación.

### Respuesta:
La integral que permite calcular el volumen es:

\[
\boxed{\pi \int_{-1}^{1} (4 - x^2)^2 \, dx}
\]

---

¿Te gustaría que te explique el desarrollo de esta integral en detalle o tienes alguna otra duda?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué sucede si se rota alrededor del eje \(y\) en lugar del eje \(x\)?
2. ¿Cómo se vería la gráfica del sólido generado por la rotación?
3. ¿Qué pasa si cambiamos los límites del intervalo?
4. ¿Cómo se realiza este cálculo con el método de cilindros?
5. ¿Qué otros métodos existen para calcular volúmenes de sólidos de revolución?

**Tip:** Al trabajar con integrales definidas, es útil verificar las simetrías de la función para simplificar el cálculo.

Learn how to calculate the volume of the solid generated by rotating the graph of f(x) = 4 - x^2 around the x-axis over the interval [-1,1] using the disk method. This calculus problem covers the application of definite integrals and the disk method to compute volumes of revolution. Suitable for college-level calculus students.

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