https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1726889748476l7qudov7.jpg

resolver el problema de valor inicial en español

Para resolver el problema de valor inicial:

\[
y''' + 3y'' + 2y' = 0, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = 2, \quad y''(0) = -1
\]

Vamos a seguir los pasos:

### 1. Planteamos la ecuación característica
La ecuación diferencial lineal homogénea de tercer orden es:

\[
y''' + 3y'' + 2y' = 0
\]

La ecuación característica asociada es:

\[
r^3 + 3r^2 + 2r = 0
\]

Factorizamos esta ecuación:

\[
r(r^2 + 3r + 2) = 0
\]

Resolviendo \(r^2 + 3r + 2 = 0\) mediante factorización:

\[
r^2 + 3r + 2 = (r + 1)(r + 2) = 0
\]

Entonces, las raíces son:

\[
r_1 = 0, \quad r_2 = -1, \quad r_3 = -2
\]

### 2. Solución general de la ecuación homogénea
La solución general de la ecuación diferencial es una combinación lineal de exponentes correspondientes a las raíces:

\[
y(x) = C_1 + C_2 e^{-x} + C_3 e^{-2x}
\]

### 3. Usamos las condiciones iniciales para determinar las constantes
Se nos dan las siguientes condiciones iniciales:

\[
y(0) = 1, \quad y'(0) = 2, \quad y''(0) = -1
\]

**Primera condición: \( y(0) = 1 \)**

Sustituimos \(x = 0\) en la solución general:

\[
y(0) = C_1 + C_2 e^0 + C_3 e^0 = C_1 + C_2 + C_3 = 1
\]

Esto nos da la primera ecuación:

\[
C_1 + C_2 + C_3 = 1
\]

**Segunda condición: \( y'(0) = 2 \)**

Derivamos la solución general:

\[
y'(x) = -C_2 e^{-x} - 2C_3 e^{-2x}
\]

Sustituimos \(x = 0\):

\[
y'(0) = -C_2 e^0 - 2C_3 e^0 = -C_2 - 2C_3 = 2
\]

Esto nos da la segunda ecuación:

\[
-C_2 - 2C_3 = 2
\]

**Tercera condición: \( y''(0) = -1 \)**

Derivamos nuevamente para obtener \(y''(x)\):

\[
y''(x) = C_2 e^{-x} + 4C_3 e^{-2x}
\]

Sustituimos \(x = 0\):

\[
y''(0) = C_2 e^0 + 4C_3 e^0 = C_2 + 4C_3 = -1
\]

Esto nos da la tercera ecuación:

\[
C_2 + 4C_3 = -1
\]

### 4. Resolvemos el sistema de ecuaciones

El sistema de ecuaciones es:

\[
\begin{aligned}
C_1 + C_2 + C_3 &= 1 \\
-C_2 - 2C_3 &= 2 \\
C_2 + 4C_3 &= -1
\end{aligned}
\]

Resolvemos este sistema:

1. De la segunda ecuación: \(C_2 = -2 - 2C_3\)
2. Sustituimos esto en la tercera ecuación:

\[
-2 - 2C_3 + 4C_3 = -1 \quad \Rightarrow \quad 2C_3 = 1 \quad \Rightarrow \quad C_3 = \frac{1}{2}
\]

3. Sustituimos \(C_3 = \frac{1}{2}\) en la segunda ecuación:

\[
C_2 = -2 - 2\left(\frac{1}{2}\right) = -2 - 1 = -3
\]

4. Finalmente, sustituimos \(C_2 = -3\) y \(C_3 = \frac{1}{2}\) en la primera ecuación:

\[
C_1 - 3 + \frac{1}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 1 + 3 - \frac{1}{2} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}
\]

### 5. Solución final
Sustituyendo los valores de \(C_1\), \(C_2\), y \(C_3\), la solución particular es:

\[
y(x) = \frac{7}{2} - 3e^{-x} + \frac{1}{2}e^{-2x}
\]

¿Te gustaría más detalles sobre este proceso o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se factoriza una ecuación cúbica en general?
2. ¿Qué ocurre si una ecuación diferencial tiene raíces complejas?
3. ¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales usando matrices?
4. ¿Cuál es el significado físico de una ecuación diferencial de tercer orden?
5. ¿Cómo se aplica el método de variación de parámetros en ecuaciones no homogéneas?

### Tip:
Al resolver sistemas de ecuaciones, es útil sustituir valores paso a paso para evitar errores.

Resolver el problema de valor inicial: y''' + 3y'' + 2y' = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2, y''(0) = -1.

Descubre cómo resolver el problema de valor inicial: y''' + 3y'' + 2y' = 0 con las condiciones y(0) = 1, y'(0) = 2, y''(0) = -1. Aprende a encontrar la solución general y a aplicar condiciones iniciales para determinar los coeficientes específicos.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation