求f（z）＝1/ z²－5z＋6在下面的圆环域内洛朗展开式：（1）0＜|z－2|＜1〈2〉1＜|z－3|＜+∞

为了求函数 \( f(z) = \frac{1}{z^2 - 5z + 6} \) 在指定的圆环域中的洛朗展开式，我们首先对函数进行因式分解。我们可以写

\[
f(z) = \frac{1}{z^2 - 5z + 6} = \frac{1}{(z - 2)(z - 3)}
\]

现在我们将分别在两个圆环域中展开洛朗级数。

### （1）圆环域 \( 0 < |z - 2| < 1 \)

在这个区域中，围绕 \( z = 2 \) 展开洛朗级数。我们将 \( f(z) \) 写成以下形式：

\[
f(z) = \frac{1}{z - 3} \cdot \frac{1}{z - 2}
\]

其中 \( \frac{1}{z - 3} \) 在 \( |z - 2| < 1 \) 范围内可以展开为：

\[
\frac{1}{z - 3} = -\frac{1}{1 - \frac{z - 2}{1}} = -\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{z - 2}{1} \right)^n = -\sum_{n=0}^{\infty} (z - 2)^n
\]

因此，函数 \( f(z) \) 在这个区域内的洛朗展开式为：

\[
f(z) = -\frac{1}{z - 2} \sum_{n=0}^{\infty} (z - 2)^n = -\sum_{n=0}^{\infty} (z - 2)^{n-1}
\]

### （2）圆环域 \( 1 < |z - 3| < +\infty \)

在这个区域中，围绕 \( z = 3 \) 展开洛朗级数。我们将 \( f(z) \) 写成以下形式：

\[
f(z) = \frac{1}{z - 2} \cdot \frac{1}{z - 3}
\]

其中 \( \frac{1}{z - 2} \) 在 \( |z - 3| > 1 \) 范围内可以展开为：

\[
\frac{1}{z - 2} = \frac{1}{(z - 3) - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(z - 3)^{n+1}}
\]

因此，函数 \( f(z) \) 在这个区域内的洛朗展开式为：

\[
f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(z - 3)^{n+1}} \cdot \frac{1}{z - 3} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(z - 3)^{n+2}}
\]

这就是在不同圆环域中的洛朗展开式。

---

有任何问题或者需要更详细的解释吗？

### 相关问题：
1. 如何判断函数在不同区域的洛朗展开式形式？
2. 洛朗展开式中的负幂项和正幂项分别代表什么？
3. 洛朗展开式和泰勒展开式有什么区别？
4. 在其他区域，如何找到函数的洛朗展开式？
5. 洛朗展开式是否适用于所有类型的解析函数？

#### 提示：
在圆环域内的洛朗展开式不仅仅包括正幂项，还可能有负幂项，负幂项代表了函数的奇点行为。

Explore the Laurent series expansion of the function f(z) = 1 / (z² - 5z + 6) within two specified annular domains: 0 < |z - 2| < 1 and 1 < |z - 3| < ∞. Learn step-by-step how to factorize the function and apply series expansions. Ideal for advanced undergraduate or graduate students in complex analysis.

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