Usando identidades trigonométricas muestra que la siguiente igualdad es cierta (1 +cot2(θ) (1 +cos(θ))(1 − cos(θ)) = 1

Para demostrar que la igualdad \( (1 + \cot^2(\theta))(1 + \cos(\theta))(1 - \cos(\theta)) = 1 \) es cierta usando identidades trigonométricas, sigamos estos pasos:

1. **Expandimos y simplificamos** el lado izquierdo de la ecuación:
   \[
   (1 + \cot^2(\theta))(1 + \cos(\theta))(1 - \cos(\theta))
   \]
   
2. **Reconocemos una identidad trigonométrica**: Recordemos que \( \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta) - 1 \). Sustituyendo en la ecuación:
   \[
   (1 + \cot^2(\theta)) = \csc^2(\theta)
   \]
   Entonces, la ecuación se convierte en:
   \[
   \csc^2(\theta)(1 + \cos(\theta))(1 - \cos(\theta))
   \]
   
3. **Simplificamos** \( (1 + \cos(\theta))(1 - \cos(\theta)) \) utilizando la identidad de productos notables:
   \[
   (1 + \cos(\theta))(1 - \cos(\theta)) = 1 - \cos^2(\theta)
   \]
   Así que la ecuación queda:
   \[
   \csc^2(\theta)(1 - \cos^2(\theta))
   \]

4. **Utilizamos otra identidad trigonométrica**: Sabemos que \( 1 - \cos^2(\theta) = \sin^2(\theta) \), entonces:
   \[
   \csc^2(\theta) \cdot \sin^2(\theta)
   \]

5. **Simplificación final**: La función cosecante es el recíproco de la función seno, es decir, \( \csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} \), entonces:
   \[
   \csc^2(\theta) \cdot \sin^2(\theta) = \frac{1}{\sin^2(\theta)} \cdot \sin^2(\theta) = 1
   \]

Esto demuestra que la igualdad \( (1 + \cot^2(\theta))(1 + \cos(\theta))(1 - \cos(\theta)) = 1 \) es cierta.

¿Tienes alguna pregunta o te gustaría una explicación más detallada?

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**Preguntas Relacionadas**:
1. ¿Cómo se deriva la identidad \( \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta) - 1 \)?
2. ¿Cuál es la importancia de las identidades trigonométricas en la resolución de ecuaciones?
3. ¿Cómo se puede utilizar la identidad pitagórica para simplificar expresiones trigonométricas?
4. ¿Por qué \( \csc^2(\theta) \) es igual a \( \frac{1}{\sin^2(\theta)} \)?
5. ¿Cómo se puede demostrar que \( (1 + \cos(\theta))(1 - \cos(\theta)) = 1 - \cos^2(\theta) \)?

**Tip**: Es útil memorizar las identidades trigonométricas básicas, ya que simplifican significativamente la resolución de problemas más complejos.

Learn how to verify the trigonometric identity (1 + cot^2(θ))(1 + cos(θ))(1 - cos(θ)) = 1 using trigonometric identities and transformations. This problem explores cotangent identity and Pythagorean identity in trigonometry. Suitable for advanced high school students in Grades 11-12.

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