Sea	� = �, �, � ∈ ℛ!: � = 0 ,	con	las	operaciones:
�, �, � ⊕ �, �, � = 0, � + �, � + �
� ⊙ �, �, � = (0, 0, ��)

Se nos ha dado un conjunto \( V = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x = 0 \} \) junto con operaciones definidas de la siguiente manera:

1. **Suma \( \oplus \)**: Para dos elementos \( (x_1, y_1, z_1) \) y \( (x_2, y_2, z_2) \) de \( V \), la suma se define como:
   \[
   (x_1, y_1, z_1) \oplus (x_2, y_2, z_2) = (0, y_1 + y_2, z_1 + z_2).
   \]

2. **Producto por escalar \( \odot \)**: Para un escalar \( \alpha \in \mathbb{R} \) y un elemento \( (x, y, z) \in V \), el producto por escalar se define como:
   \[
   \alpha \odot (x, y, z) = (0, 0, \alpha z).
   \]

La pregunta es si el conjunto \( V \), junto con las operaciones \( \oplus \) y \( \odot \), es un espacio vectorial real.

### Verificación de los axiomas de espacio vectorial

Para determinar si \( V \), con las operaciones definidas, es un espacio vectorial, debemos verificar que se cumplen los axiomas de un espacio vectorial. Veamos estos axiomas uno por uno:

#### 1. **Cerradura bajo la suma**:
Para que \( V \) sea un espacio vectorial, la suma de dos elementos de \( V \) debe estar en \( V \).

- Tomemos dos elementos \( (x_1, y_1, z_1) \) y \( (x_2, y_2, z_2) \) en \( V \). Dado que \( x_1 = 0 \) y \( x_2 = 0 \), la operación \( \oplus \) da:
  \[
  (x_1, y_1, z_1) \oplus (x_2, y_2, z_2) = (0, y_1 + y_2, z_1 + z_2).
  \]
  Esto muestra que la primera componente sigue siendo 0, por lo que la suma está cerrada en \( V \).

#### 2. **Cerradura bajo el producto por escalar**:
Para que \( V \) sea un espacio vectorial, el producto de un escalar con un elemento de \( V \) debe estar en \( V \).

- Tomemos un elemento \( (x, y, z) \in V \) y un escalar \( \alpha \). Según la operación \( \odot \):
  \[
  \alpha \odot (x, y, z) = (0, 0, \alpha z).
  \]
  Nuevamente, la primera componente sigue siendo 0, por lo que el resultado pertenece a \( V \).

#### 3. **Existencia del elemento neutro aditivo**:
Debe existir un elemento neutro aditivo \( (0, 0, 0) \) tal que, al sumarlo con cualquier elemento de \( V \), dé como resultado el mismo elemento.

- El elemento neutro es \( (0, 0, 0) \), ya que para cualquier \( (0, y, z) \in V \):
  \[
  (0, y, z) \oplus (0, 0, 0) = (0, y + 0, z + 0) = (0, y, z).
  \]
  Por lo tanto, existe un elemento neutro aditivo en \( V \).

#### 4. **Existencia de inverso aditivo**:
Para cada elemento \( (0, y, z) \in V \), debe existir un inverso aditivo tal que, al sumarlo con el elemento original, dé como resultado el neutro aditivo \( (0, 0, 0) \).

- El inverso aditivo de \( (0, y, z) \) es \( (0, -y, -z) \), ya que:
  \[
  (0, y, z) \oplus (0, -y, -z) = (0, y - y, z - z) = (0, 0, 0).
  \]
  Por lo tanto, existe un inverso aditivo para cada elemento de \( V \).

#### 5. **Distributividad del producto por escalar sobre la suma de vectores**:
El producto por escalar debe distribuirse sobre la suma de vectores:
\[
\alpha \odot ((0, y_1, z_1) \oplus (0, y_2, z_2)) = (\alpha \odot (0, y_1, z_1)) \oplus (\alpha \odot (0, y_2, z_2)).
\]

- A la izquierda:
  \[
  \alpha \odot (0, y_1 + y_2, z_1 + z_2) = (0, 0, \alpha(z_1 + z_2)).
  \]
- A la derecha:
  \[
  (\alpha \odot (0, y_1, z_1)) \oplus (\alpha \odot (0, y_2, z_2)) = (0, 0, \alpha z_1) \oplus (0, 0, \alpha z_2) = (0, 0, \alpha z_1 + \alpha z_2).
  \]

Ambos lados son iguales, por lo que la distributividad se cumple.

#### 6. **Distributividad del producto por escalar sobre la suma de escalares**:
\[
(\alpha + \beta) \odot (0, y, z) = (\alpha \odot (0, y, z)) \oplus (\beta \odot (0, y, z)).
\]

- A la izquierda:
  \[
  (\alpha + \beta) \odot (0, y, z) = (0, 0, (\alpha + \beta)z).
  \]
- A la derecha:
  \[
  (\alpha \odot (0, y, z)) \oplus (\beta \odot (0, y, z)) = (0, 0, \alpha z) \oplus (0, 0, \beta z) = (0, 0, \alpha z + \beta z).
  \]

Ambos lados son iguales, por lo que la distributividad se cumple.

### Conclusión:
El conjunto \( V = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x = 0 \} \), junto con las operaciones \( \oplus \) y \( \odot \), cumple todos los axiomas de un espacio vectorial. Por lo tanto, **sí, \( V \), junto con \( \oplus \) y \( \odot \), es un espacio vectorial real**.

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¿Tienes alguna pregunta o te gustaría más detalles? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas que podrían interesarte:

1. ¿Cómo se comporta el espacio vectorial si se cambia la definición del producto por escalar?
2. ¿Qué ocurre si modificamos el conjunto \( V \) permitiendo que \( x \) no sea 0?
3. ¿Cómo afecta la estructura de un espacio vectorial a las aplicaciones lineales?
4. ¿Se pueden definir otras operaciones en \( \mathbb{R}^3 \) que aún formen un espacio vectorial?
5. ¿Qué ejemplos prácticos existen de espacios vectoriales con operaciones no convencionales?

**Tip:** La verificación de los axiomas de un espacio vectorial no solo es una herramienta formal; puede ser muy útil para definir estructuras en álgebra abstracta que tengan aplicaciones en geometría, física y otras áreas de las matemáticas.

Understand and verify if a given set with specific operations forms a real vector space. Explore the definitions of vector addition and scalar multiplication, along with their properties. Suitable for advanced mathematics students and enthusiasts.

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