Si existe una solución única al sistema (1.1.1), muestre que a11a22 2 a12a21 Z 0.

Para demostrar que si existe una solución única al sistema \((1.1.1)\), entonces \(a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0\), consideremos un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, que normalmente se expresa en forma matricial como:

\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2
\end{pmatrix}
\]

Esto corresponde a:

\[
\begin{aligned}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 &= b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 &= b_2
\end{aligned}
\]

Para que este sistema de ecuaciones tenga una solución única, la matriz de coeficientes debe ser invertible, lo que ocurre si y solo si el **determinante** de la matriz de coeficientes no es igual a cero. El determinante de la matriz de coeficientes \(A\) es:

\[
\text{det}(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
\]

Para que exista una solución única, es necesario que:

\[
\text{det}(A) \neq 0
\]

Es decir, \(a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0\). Si este determinante fuera cero, el sistema tendría infinitas soluciones o ninguna solución (es decir, sería un sistema dependiente o inconsistente), pero no tendría una solución única.

Por lo tanto, hemos demostrado que para que exista una solución única al sistema, se debe cumplir que:

\[
a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0
\]

¿Te gustaría una explicación más detallada sobre algún paso?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el determinante de una matriz de mayor dimensión?
2. ¿Qué sucede si el determinante es igual a 0 en un sistema de ecuaciones?
3. ¿Cuáles son los métodos para resolver un sistema con más de dos ecuaciones e incógnitas?
4. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver sistemas de ecuaciones lineales, además de la inversa de matrices?
5. ¿Cómo se relacionan los valores propios de una matriz con la existencia de soluciones únicas?

**Tip**: Si el determinante es cero, el sistema puede tener soluciones infinitas o ninguna, dependiendo de si las ecuaciones son consistentes o no.

Si existe una solución única al sistema (1.1.1), muestre que a11a22 - a12a21 ≠ 0.

Discover how to prove that a system of linear equations has a unique solution by showing that the determinant of the coefficient matrix is not zero. This detailed explanation includes key concepts in linear algebra, such as determinants and matrix theory, and is suitable for Grades 11-12.

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