Las funciones  f y  g se definen como sigue. f(x)=x^(2)+8x+5 y g(x)=(3)/(x^(2)-2)
    y    
Hallar f(x-2) y g(-(1)/(x))  .
Escribir las respuestas sin paréntesis y simplificarlas tanto como sea posible.


Para hallar las funciones \( f(x-2) \) y \( g\left(-\frac{1}{x}\right) \), vamos a proceder paso a paso:

### 1. Hallar \( f(x-2) \)
La función \( f(x) \) está dada por:
\[
f(x) = x^2 + 8x + 5
\]
Para hallar \( f(x-2) \), sustituimos \( x \) por \( x-2 \) en la función \( f(x) \):
\[
f(x-2) = (x-2)^2 + 8(x-2) + 5
\]

Ahora, desarrollamos y simplificamos la expresión:
\[
(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4
\]
\[
8(x-2) = 8x - 16
\]

Sustituyendo:
\[
f(x-2) = x^2 - 4x + 4 + 8x - 16 + 5
\]

Simplificamos sumando y restando términos semejantes:
\[
f(x-2) = x^2 + 4x - 7
\]

### 2. Hallar \( g\left(-\frac{1}{x}\right) \)
La función \( g(x) \) está dada por:
\[
g(x) = \frac{3}{x^2 - 2}
\]

Para hallar \( g\left(-\frac{1}{x}\right) \), sustituimos \( x \) por \( -\frac{1}{x} \):
\[
g\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{\left(-\frac{1}{x}\right)^2 - 2}
\]

Desarrollamos la expresión:
\[
\left(-\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2}
\]
Entonces:
\[
g\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{\frac{1}{x^2} - 2}
\]

Para simplificar la fracción, multiplicamos el numerador y el denominador por \( x^2 \):
\[
g\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{3x^2}{1 - 2x^2}
\]

### Respuestas finales:
\[
f(x-2) = x^2 + 4x - 7
\]
\[
g\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{3x^2}{1 - 2x^2}
\]

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**Tip:** Siempre verifica tu simplificación final para asegurarte de que no se pueden reducir más los términos.

Explore how to find values of composite functions and perform substitutions in algebraic expressions. This problem involves functions f(x) = x^2 + 8x + 5 and g(x) = 3/(x^2 - 2). Suitable for high school students learning about function composition and algebraic substitution.

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