Una serie geométrica  de la forma ∑n=1∞arn
converge si:


a.
Si el valor de r es menos que -1


b.
Si se tiene que el valor de r está entre -1 y 1 y r≠0


c.
Si se tiene que el valor de r está entre -1 y 1 


d.
Si el valor de r es mayor que 1

La serie geométrica dada es:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} ar^n
\]

Una serie geométrica de la forma $ \sum_{n=0}^{\infty} ar^n $ **converge** si el valor absoluto de la razón $ r $ está estrictamente entre -1 y 1, es decir, si $ |r| < 1 $.

### Detalles:
- Si $ |r| \geq 1 $, la serie **diverge**.
- Si $ |r| < 1 $, la serie **converge**.

En este contexto, si $ r $ está entre -1 y 1, sin importar si es positivo o negativo, la serie converge. No hay necesidad de excluir el valor $ r = 0 $ en la condición, porque si $ r = 0 $, la serie simplemente se convierte en una suma de términos iguales a $ a $, lo que no es lo que se espera en una serie geométrica típica.

La respuesta correcta es:

**c. Si se tiene que el valor de $ r $ está entre -1 y 1**

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta sobre este tema?

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### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula la suma de una serie geométrica cuando $ |r| < 1 $?
2. ¿Qué sucede con la serie geométrica si $ r = 1 $?
3. ¿Cómo afecta el valor de $ a $ a la convergencia de la serie geométrica?
4. ¿Cuál es el papel del primer término de la serie geométrica en su suma total?
5. ¿Cómo se puede aplicar la serie geométrica para resolver problemas en física o economía?

### Tip:
Para recordar cuándo una serie geométrica converge, piensa en la razón $ r $ como una fracción o número pequeño. Si se va acercando a 1 en magnitud (positiva o negativa), los términos de la serie no se reducen lo suficiente, lo que provoca divergencia.

Explore the convergence criteria for geometric series, focusing on when a geometric series $\sum_{n=1}^{\infty} ar^n$ converges. Learn about the conditions where the ratio $r$ ensures convergence or divergence of the series.

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