Luis se encuentra en el mirador a 5 metros de altura observando la Huaca del Sol, ubicada a una distancia horizontal de 50 metros. Desde su posición, calcula el ángulo de elevación para ver la parte más alta de la Huaca, que es de 45°. Además, mira el suelo al pie de la Huaca con un ángulo de depresión de 30°.a) Modela gráficamente la situación planteada. b) ¿Puedes determinar la altura de la Huaca del Sol con los datos proporcionados? c) ¿Fue necesario utilizar las razones trigonométricas? ¿Qué razón utilizaste o qué estrategia te ayudó? d) Determina a qué distancia se encuentra Luis de la base de la Huaca del Sol.

### a) Modelado gráfico de la situación:

Para modelar gráficamente la situación, podemos imaginar un triángulo rectángulo donde:

- La base del triángulo corresponde a la distancia horizontal desde Luis hasta la base de la Huaca, que es de 50 metros.
- La altura del triángulo corresponde a la altura total de la Huaca del Sol.
- Luis se encuentra a una altura de 5 metros en un mirador.
- El ángulo de elevación para ver la parte más alta de la Huaca es de 45°.
- El ángulo de depresión para ver la base de la Huaca es de 30°.

Así, podemos tener dos triángulos rectángulos. Uno formado por la altura de la Huaca (desde el suelo hasta su parte más alta) y la distancia horizontal, y otro con la misma base, pero considerando la altura del mirador.

### b) Determinación de la altura de la Huaca del Sol

Para calcular la altura de la Huaca, necesitamos aplicar trigonometría. Tenemos dos triángulos formados, uno con el ángulo de elevación de 45° y otro con el ángulo de depresión de 30°.

1. **Ángulo de elevación de 45°:**

Desde el punto donde está Luis, mirando hacia la parte más alta de la Huaca, se puede usar la tangente del ángulo de elevación:

\[
\tan(45^\circ) = \frac{h_{\text{total}} - 5}{50}
\]

Sabemos que \(\tan(45^\circ) = 1\), por lo tanto:

\[
1 = \frac{h_{\text{total}} - 5}{50}
\]

Multiplicamos ambos lados por 50:

\[
50 = h_{\text{total}} - 5
\]

Despejando \(h_{\text{total}}\):

\[
h_{\text{total}} = 50 + 5 = 55 \, \text{metros}
\]

Por lo tanto, la altura total de la Huaca del Sol es de 55 metros.

### c) ¿Fue necesario utilizar las razones trigonométricas?

Sí, fue necesario utilizar una razón trigonométrica para resolver el problema. En este caso, utilizamos la **tangente** del ángulo de elevación de 45°. La tangente relaciona el ángulo con la razón entre el lado opuesto (la altura de la Huaca menos la altura del mirador) y el lado adyacente (la distancia horizontal entre Luis y la Huaca).

### d) Determinación de la distancia de Luis a la base de la Huaca

Ahora podemos calcular la distancia de Luis a la base de la Huaca, que es la hipotenusa del triángulo formado con el ángulo de depresión de 30°.

Usamos nuevamente la tangente:

\[
\tan(30^\circ) = \frac{5}{d}
\]

Sabemos que \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), por lo que:

\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{d}
\]

Multiplicamos ambos lados por \(d\) y despejamos:

\[
d = 5 \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 1.732 = 8.66 \, \text{metros}
\]

Así que la distancia desde Luis hasta la base de la Huaca es de aproximadamente 8.66 metros.

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¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración adicional?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica la tangente en triángulos rectángulos?
2. ¿Por qué la tangente de 45° es 1 y cómo se utiliza?
3. ¿Qué otras razones trigonométricas podrían aplicarse en este tipo de problemas?
4. ¿Cómo cambiaría la solución si Luis estuviera a una altura diferente?
5. ¿Cómo calcular la distancia si el ángulo de elevación fuera diferente?

**Tip:** Recuerda que en los triángulos rectángulos, la tangente de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Luis se encuentra en el mirador a 5 metros de altura observando la Huaca del Sol, ubicada a una distancia horizontal de 50 metros. Desde su posición, calcula el ángulo de elevación para ver la parte más alta de la Huaca, que es de 45°. Además, mira el suelo al pie de la Huaca con un ángulo de depresión de 30°. a) Modela gráficamente la situación planteada. b) ¿Puedes determinar la altura de la Huaca del Sol con los datos proporcionados? c) ¿Fue necesario utilizar las razones trigonométricas? ¿Qué razón utilizaste o qué estrategia te ayudó? d) Determina a qué distancia se encuentra Luis de la base de la Huaca del Sol.

Explore how to apply trigonometry to calculate the height of the Huaca del Sol and the distance from an observer, using angles of elevation and depression. The problem involves calculating the height using the tangent of 45°, and determining the distance using the tangent of 30°, suitable for students in Grades 9-12.

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