Un número de tres cifras abc es llamado triangular si a=c y a<b. ¿Cuántos números triangulares hay divisibles por 11?



Para resolver este problema, primero desglosaremos las condiciones dadas y después aplicaremos la divisibilidad por 11. 

1. Un número de tres cifras \( abc \) es triangular si:
   - La primera y la tercera cifra son iguales: \( a = c \)
   - La primera cifra es menor que la segunda: \( a < b \)

2. El número puede escribirse como \( 101a + 10b \).

3. Para que el número sea divisible por 11, debe cumplir la regla de divisibilidad para 11, que establece que la diferencia entre la suma de las cifras en las posiciones impares y la suma de las cifras en las posiciones pares debe ser múltiplo de 11. Es decir:
   \[
   a + c - b = 0 \mod 11
   \]
   Dado que \( a = c \), esto se simplifica a:
   \[
   2a - b = 0 \mod 11 \quad \Rightarrow \quad 2a \equiv b \mod 11
   \]

Ahora, evaluamos los valores posibles para \( a \) y \( b \) dentro del rango permitido (0-9):

- Si \( a = 1 \):
  \[
  2 \cdot 1 \equiv b \mod 11 \quad \Rightarrow \quad b \equiv 2 \mod 11 \quad (b = 2)
  \]

- Si \( a = 2 \):
  \[
  2 \cdot 2 \equiv b \mod 11 \quad \Rightarrow \quad b \equiv 4 \mod 11 \quad (b = 4)
  \]

- Si \( a = 3 \):
  \[
  2 \cdot 3 \equiv b \mod 11 \quad \Rightarrow \quad b \equiv 6 \mod 11 \quad (b = 6)
  \]

- Si \( a = 4 \):
  \[
  2 \cdot 4 \equiv b \mod 11 \quad \Rightarrow \quad b \equiv 8 \mod 11 \quad (b = 8)
  \]

- Si \( a = 5 \):
  \[
  2 \cdot 5 \equiv b \mod 11 \quad \Rightarrow \quad b \equiv 10 \mod 11 \quad (b = 10 \text{ pero } 10 \text{ no es dígito})
  \]

Para \( a > 5 \), la condición \( a < b \) no se cumplirá con \( b \) que sean menores que 10. 

Por lo tanto, los números triangulares divisibles por 11 son:
- 121 (a = 1, b = 2)
- 242 (a = 2, b = 4)
- 363 (a = 3, b = 6)
- 484 (a = 4, b = 8)

Hay 4 números triangulares divisibles por 11.

**Respuesta final**: Hay 4 números triangulares de tres cifras divisibles por 11.

¿Quieres detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se determina si un número es triangular?
2. ¿Qué es la regla de divisibilidad para 11?
3. ¿Cuál es la fórmula para los números triangulares?
4. ¿Cómo se aplica la congruencia modular en problemas de divisibilidad?
5. ¿Por qué se considera solo hasta \( a = 4 \) en este problema?
6. ¿Cuáles son otras propiedades de los números triangulares?
7. ¿Qué otras reglas de divisibilidad existen y cómo se aplican?
8. ¿Cómo se determina el número de cifras de un número triangular?

**Tip:** Al resolver problemas de divisibilidad, las reglas y propiedades de los números pueden simplificar significativamente los cálculos.

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