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En la imagen se muestra el gráfico de \( y = x^2 \) y se te pide transformarlo para que sea el gráfico de \( y = -(x - 4)^2 - 2 \).

Aquí están los pasos necesarios para hacer esta transformación:

### 1. **Traslación Horizontal**
   La ecuación \( y = -(x - 4)^2 - 2 \) indica que el gráfico de \( y = x^2 \) debe desplazarse 4 unidades a la **derecha**. Esto se debe al término \( (x - 4) \), ya que restar 4 al valor de \( x \) traslada el gráfico hacia la derecha.

### 2. **Reflexión en el Eje Horizontal**
   El signo negativo delante del paréntesis \( -(x - 4)^2 \) refleja el gráfico respecto al **eje \( x \)**. Así que la parábola ahora se abre hacia **abajo** en lugar de hacia arriba.

### 3. **Traslación Vertical**
   El término \( -2 \) indica que después de la reflexión, el gráfico debe desplazarse 2 unidades hacia **abajo**. Esto mueve el vértice de la parábola hacia \( y = -2 \).

### 4. **Resultado Final**
   El vértice de la nueva parábola estará en \( (4, -2) \) y se abrirá hacia abajo.

Si aplicas estas transformaciones paso a paso en el gráfico, tendrás el gráfico deseado de \( y = -(x - 4)^2 - 2 \).

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¿Te gustaría más detalles sobre alguna parte de la explicación?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el término \( (x - h)^2 \) en una parábola a su posición?
2. ¿Por qué el signo negativo en frente de una función cuadrática invierte su dirección?
3. ¿Cómo calcular el vértice de una parábola dada en la forma de \( a(x - h)^2 + k \)?
4. ¿Qué significa una traslación en el eje \( y \) para cualquier función cuadrática?
5. ¿Cómo se deduce la orientación de una parábola a partir del coeficiente de \( x^2 \)?

**Tip:** Para transformar gráficas de funciones, presta atención a cómo los términos dentro de los paréntesis y fuera de ellos afectan la forma y posición del gráfico.

Transform the graph of y = x^2 to y = -(x - 4)^2 - 2.

Learn how to transform the graph of a quadratic function from y = x^2 to y = -(x - 4)^2 - 2. This problem covers key concepts such as horizontal shifts, reflections, and vertical shifts in graph transformations. Suitable for students in Grades 9-11.

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