Un volumen de 2x10-4 m³ de sustancia paramagnética se mantiene a temperatura constante, mientras se aumenta de forma isoterma y cuasi-estática un campo magnético de 0 a 10^6A/m. Suponiendo que se cumple la ecuación de Curie y que la constante de Curie por unidad de volumen es 0.15 grados

(a) ¿Qué trabajo se realizaría si no hubiese sustancia?

(b) ¿Qué trabajo se realiza para variar la imanación del material cuando la temperatura es de

300 K y cuando es de 1 K?


Para resolver el problema, utilizaremos las ecuaciones de la termodinámica en relación con el magnetismo, específicamente bajo el supuesto de la **Ley de Curie** para materiales paramagnéticos. Esta ley establece que la magnetización \( M \) de una sustancia paramagnética está relacionada con el campo magnético aplicado \( H \) y la temperatura \( T \) según la siguiente ecuación:

\[
M = \frac{C}{T} H
\]

donde:
- \( M \) es la magnetización,
- \( C \) es la constante de Curie por unidad de volumen,
- \( T \) es la temperatura absoluta,
- \( H \) es la intensidad del campo magnético.

Dado que la constante de Curie por unidad de volumen es \( C = 0.15 \, \text{K} \), y la variación de campo magnético es de \( 0 \, \text{A/m} \) a \( 10^6 \, \text{A/m} \), podemos proceder a resolver el problema.

### (a) ¿Qué trabajo se realizaría si no hubiese sustancia?
En este caso, el trabajo realizado es simplemente el trabajo de cambiar el campo magnético en el vacío. Este trabajo se puede calcular mediante la siguiente ecuación para el trabajo \( W \) en el vacío:

\[
W = \frac{\mu_0}{2} V H^2
\]

donde:
- \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Tm/A} \) es la permeabilidad del vacío,
- \( V = 2 \times 10^{-4} \, \text{m}^3 \) es el volumen de la sustancia,
- \( H = 10^6 \, \text{A/m} \) es el campo magnético aplicado.

Sustituyendo los valores:

\[
W = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2} (2 \times 10^{-4}) (10^6)^2
\]

Vamos a calcular este valor.

### (b) ¿Qué trabajo se realiza para variar la magnetización del material?
El trabajo realizado para variar la magnetización de un material paramagnético viene dado por la siguiente expresión:

\[
W = \int_0^{H_f} M \, dH
\]

Usamos la Ley de Curie, donde \( M = \frac{C}{T} H \). Al integrar para obtener el trabajo total:

\[
W = \int_0^{H_f} \frac{C}{T} H \, dH = \frac{C}{T} \int_0^{H_f} H \, dH = \frac{C}{T} \frac{H_f^2}{2}
\]

Sustituyendo \( C = 0.15 \, \text{K} \), \( H_f = 10^6 \, \text{A/m} \), y las dos temperaturas \( T_1 = 300 \, \text{K} \) y \( T_2 = 1 \, \text{K} \), el trabajo en cada caso será:

\[
W(T_1) = \frac{0.15}{300} \frac{(10^6)^2}{2}
\]
\[
W(T_2) = \frac{0.15}{1} \frac{(10^6)^2}{2}
\]

Calculemos estos valores.### Resultados:

#### (a) Trabajo realizado sin sustancia:
El trabajo realizado al variar el campo magnético en el vacío es:

\[
W_{\text{vacío}} = 125.66 \, \text{J}
\]

#### (b) Trabajo realizado para variar la magnetización del material:

- A **300 K**: 
\[
W(300 \, \text{K}) = 250 \, \text{MJ}
\]

- A **1 K**: 
\[
W(1 \, \text{K}) = 75 \, \text{GJ}
\]

El trabajo aumenta significativamente a temperaturas más bajas debido a la mayor susceptibilidad magnética en materiales paramagnéticos, lo que requiere más energía para magnetizarlos.

---

¿Te gustaría detalles adicionales sobre algún cálculo? Aquí hay 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo influye la Ley de Curie en materiales paramagnéticos?
2. ¿Qué ocurre con la magnetización en temperaturas cercanas al cero absoluto?
3. ¿Cómo cambia el trabajo si el campo magnético fuera menor?
4. ¿Qué otras leyes describen el comportamiento de materiales magnéticos?
5. ¿Cómo se podría aplicar este concepto en tecnología moderna?

**Tip:** Los materiales paramagnéticos tienen una susceptibilidad magnética mayor a bajas temperaturas, lo que implica una mayor magnetización para el mismo campo aplicado.

Un volumen de 2x10^-4 m³ de sustancia paramagnética se mantiene a temperatura constante, mientras se aumenta de forma isoterma y cuasi-estática un campo magnético de 0 a 10^6 A/m. Suponiendo que se cumple la ecuación de Curie y que la constante de Curie por unidad de volumen es 0.15 grados. (a) ¿Qué trabajo se realizaría si no hubiese sustancia? (b) ¿Qué trabajo se realiza para variar la imanación del material cuando la temperatura es de 300 K y cuando es de 1 K?

Resuelve el problema del trabajo realizado en una sustancia paramagnética, utilizando la Ley de Curie. El campo magnético varía de 0 a 10^6 A/m en un volumen de 2x10^-4 m³, con temperaturas de 300 K y 1 K. Calcula el trabajo tanto en el vacío como en el material, siguiendo la ecuación de Curie. Ideal para estudiantes universitarios de física.

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