1. Dado el siguiente problema de aplicación, Exprese el costo total como una función del número de unidades producidas, dibuje la gráfica y exprese el rango y el dominio de la función:
Una heladería cuenta con una máquina de helados, con ella puede proporcionar sabores de fresa, chocolate y combinado (fresa y chocolate). La máquina tiene una capacidad de producción de 3,450 helados mensuales. Los gastos indirectos fijos ascienden a $9,500.00 por mes y los costos de producción son de $4.50 por unidad. Exprese el costo total como una función del número de unidades producidas, dibuje la gráfica y exprese el dominio y rango restringido de la función.



### 1. **Expresión del Costo Total como función del número de unidades producidas**

El costo total $ C(x) $ es la suma de los costos fijos y los costos variables. Los costos fijos son aquellos que no cambian con la cantidad de helados producidos, mientras que los costos variables dependen directamente del número de unidades producidas.

- **Costos fijos**: $9,500 por mes.
- **Costos variables**: $4.50 por cada helado producido.

La función de costo total en términos de $ x $ (número de helados producidos) es:

\[
C(x) = C_{\text{fijo}} + C_{\text{variable}}
\]

Donde:

\[
C(x) = 9,500 + 4.50x
\]

### 2. **Gráfica de la Función de Costo Total**

Esta es una función lineal, por lo que su gráfica será una línea recta con pendiente positiva. La pendiente es $ 4.50 $ (el costo variable por unidad) y el término independiente es $ 9,500 $ (el costo fijo).

Voy a graficar esta función en el intervalo correspondiente a la capacidad máxima de producción mensual, que es de 0 a 3,450 helados.

### 3. **Dominio y Rango de la Función**

- **Dominio**: El dominio es el conjunto de valores que puede tomar $ x $, que en este caso es el número de helados producidos. Como la capacidad máxima de la máquina es de 3,450 helados, el dominio será:

\[
0 \leq x \leq 3450
\]

- **Rango**: El rango es el conjunto de valores que puede tomar el costo total. Cuando $ x = 0 $, el costo total es igual a los costos fijos $ C(0) = 9,500 $. Cuando se producen 3,450 helados, el costo total es:

\[
C(3450) = 9,500 + 4.50 \times 3450 = 9,500 + 15,525 = 25,025
\]

Por lo tanto, el rango de la función será:

\[
9,500 \leq C(x) \leq 25,025
\]

### 4. **Gráfica**

Voy a graficar la función ahora.Aquí tienes la gráfica de la función de costo total $ C(x) = 9500 + 4.5x $, que muestra cómo aumenta el costo total conforme se incrementa el número de helados producidos, desde 0 hasta la capacidad máxima de producción de 3,450 unidades.

### 5. **Resumen del Dominio y Rango:**
- **Dominio**: $ 0 \leq x \leq 3450 $ (número de helados producidos).
- **Rango**: $ 9500 \leq C(x) \leq 25025 $ (costo total en dólares).

---

¿Te gustaría más detalles o alguna explicación adicional?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se calculan los costos variables en otros contextos industriales?
2. ¿Qué otras formas de funciones podrían modelar costos si los costos no fueran constantes por unidad?
3. ¿Qué ocurriría con el rango si el costo por helado aumentara?
4. ¿Cómo se podría representar una función de costo total si la empresa recibiera descuentos por volumen?
5. ¿Qué cambios en la gráfica ocurrirían si los costos fijos aumentaran a $12,000?

**Tip:** Las funciones lineales como esta siempre se grafican como líneas rectas, donde la pendiente representa el costo variable.

Dado el siguiente problema de aplicación, Exprese el costo total como una función del número de unidades producidas, dibuje la gráfica y exprese el rango y el dominio de la función: Una heladería cuenta con una máquina de helados, con ella puede proporcionar sabores de fresa, chocolate y combinado (fresa y chocolate). La máquina tiene una capacidad de producción de 3,450 helados mensuales. Los gastos indirectos fijos ascienden a $9,500.00 por mes y los costos de producción son de $4.50 por unidad. Exprese el costo total como una función del número de unidades producidas, dibuje la gráfica y exprese el dominio y rango restringido de la función.

Learn how to express the total cost function for an ice cream production process with fixed costs of $9,500 and variable costs of $4.50 per unit. This problem covers linear functions, cost analysis, and algebra. Suitable for high school students.

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