Determine la ecuación del plano que es tangente al paraboloide z = 2x2 + 3y2 y paralelo al plano 4x − 3y − z = 10.

Para determinar la ecuación del plano que es tangente al paraboloide \( z = 2x^2 + 3y^2 \) y paralelo al plano \( 4x - 3y - z = 10 \), seguiremos estos pasos:

### Paso 1: Ecuación del paraboloide
El paraboloide está definido por la ecuación:

\[
z = 2x^2 + 3y^2
\]

### Paso 2: Ecuación del plano
Queremos encontrar un plano que sea paralelo a \( 4x - 3y - z = 10 \). Sabemos que los planos paralelos tienen la misma normal, por lo que el plano tangente que buscamos debe tener una ecuación de la forma:

\[
4x - 3y - z = C
\]

Donde \( C \) es una constante que determinaremos.

### Paso 3: Gradiente del paraboloide
El vector normal a un paraboloide en un punto de su superficie se obtiene a partir del gradiente de su ecuación. Para el paraboloide \( z = 2x^2 + 3y^2 \), la función que lo define es:

\[
f(x, y, z) = z - 2x^2 - 3y^2 = 0
\]

El gradiente de \( f(x, y, z) \) es:

\[
\nabla f(x, y, z) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)
\]

Calculamos las derivadas parciales:

\[
\frac{\partial f}{\partial x} = -4x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -6y, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 1
\]

El vector gradiente es, por lo tanto:

\[
\nabla f(x, y, z) = (-4x, -6y, 1)
\]

### Paso 4: Condición de paralelismo
El plano tangente debe ser paralelo al plano \( 4x - 3y - z = 10 \). Esto significa que el vector normal al plano tangente, que es \( (-4x, -6y, 1) \), debe ser proporcional al vector normal del plano dado, que es \( (4, -3, -1) \).

Por lo tanto, debemos resolver el siguiente sistema de proporciones:

\[
\frac{-4x}{4} = \frac{-6y}{-3} = \frac{1}{-1}
\]

De estas ecuaciones, obtenemos:

1. \( -x = 1 \), es decir, \( x = -1 \),
2. \( 2y = 1 \), es decir, \( y = \frac{1}{2} \).

### Paso 5: Determinación de \( C \)
Ya que el punto de tangencia tiene coordenadas \( (-1, \frac{1}{2}) \), sustituimos estos valores en la ecuación del paraboloide para encontrar la coordenada \( z \):

\[
z = 2(-1)^2 + 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2(1) + 3\left(\frac{1}{4}\right) = 2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4}
\]

El punto de tangencia es \( (-1, \frac{1}{2}, \frac{11}{4}) \).

Ahora, usamos este punto en la ecuación general del plano paralelo \( 4x - 3y - z = C \):

\[
4(-1) - 3\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{11}{4} = C
\]

Calculamos:

\[
-4 - \frac{3}{2} - \frac{11}{4} = C
\]

\[
-4 = -\frac{16}{4}, \quad -\frac{3}{2} = -\frac{6}{4}
\]

\[
-\frac{16}{4} - \frac{6}{4} - \frac{11}{4} = C \implies C = -\frac{33}{4}
\]

### Paso 6: Ecuación final del plano
La ecuación del plano tangente es:

\[
4x - 3y - z = -\frac{33}{4}
\]

Multiplicando todo por 4 para simplificar:

\[
16x - 12y - 4z = -33
\]

Esta es la ecuación del plano tangente buscado.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina el vector normal de una superficie?
2. ¿Qué significa que dos planos sean paralelos?
3. ¿Qué es el gradiente de una función?
4. ¿Cuál es la importancia de los puntos de tangencia en geometría diferencial?
5. ¿Cómo afecta la forma de un paraboloide a las propiedades de los planos tangentes?

**Tip:** En geometría, el gradiente de una superficie en un punto siempre es perpendicular (normal) a la superficie en ese punto.

Learn how to determine the tangent plane to the paraboloid z = 2x² + 3y² that is parallel to the plane 4x - 3y - z = 10. This solution covers important concepts such as gradients, tangency conditions, and solving for parallel planes. Perfect for college-level multivariable calculus students.

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