La suma de la serie \( \sum_{i=1}^{n} \left(i^2 + \frac{1}{i}\right) \) consiste en sumar los términos \( i^2 + \frac{1}{i} \) para \( i \) desde 1 hasta \( n \).

Podemos descomponer la suma en dos partes:

\[
\sum_{i=1}^{n} \left(i^2 + \frac{1}{i}\right) = \sum_{i=1}^{n} i^2 + \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}
\]

1. **Suma de los cuadrados de los primeros \( n \) números enteros:**

\[
\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

2. **Suma armónica de los primeros \( n \) términos:**

\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}
\]

No hay una fórmula cerrada simple para la suma armónica, pero se puede expresar utilizando la función armónica \( H_n \), que es la suma de los recíprocos de los primeros \( n \) números enteros:

\[
H_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}
\]

Entonces, la expresión completa de la suma es:

\[
\sum_{i=1}^{n} \left(i^2 + \frac{1}{i}\right) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + H_n
\]

Esta es la suma total hasta \( n \).

¿Quieres ver más detalles o tienes alguna pregunta?

---

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se deriva la fórmula para la suma de los cuadrados de los primeros \( n \) números?
2. ¿Cuál es la interpretación de la suma armónica en términos de logaritmos?
3. ¿Qué sucede cuando \( n \) tiende a infinito en esta suma?
4. ¿Cómo se puede aproximar la suma armónica para grandes valores de \( n \)?
5. ¿Cuál es la relación entre la suma de cuadrados y la suma de los primeros \( n \) números naturales?

**Tip:** La función armónica \( H_n \) se puede aproximar usando la fórmula \( H_n \approx \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} \), donde \( \gamma \) es la constante de Euler-Mascheroni.

Explore the sum of the series \( \sum_{i=1}^{n} \left(i^2 + \frac{1}{i}\right) \) with detailed explanations and formulas. This problem involves calculating the sum of squares and harmonic numbers, relevant for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation