hola, podrías apoyarme con lo siguiente: Utiliza inducción matematica para verificar la siguiente ecuación, enteros positivos: 1/(1*3) + 1/(3*5)+1/(5*7) +...+ 1/[(2n-1)(2n+1)] =n/(2n+1)

¡Claro! Vamos a demostrar la ecuación usando **inducción matemática** para enteros positivos:

La ecuación a demostrar es:

\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{n}{2n+1}
\]

### Paso 1: Verificar el caso base
Para \( n = 1 \), evaluamos ambos lados de la ecuación:

- Lado izquierdo:
  \[
  \frac{1}{(2(1)-1)(2(1)+1)} = \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3}
  \]
  
- Lado derecho:
  \[
  \frac{1}{2(1)+1} = \frac{1}{3}
  \]

Por lo tanto, ambos lados son iguales cuando \( n = 1 \). El caso base se cumple.

### Paso 2: Paso inductivo

**Hipótesis inductiva:** Supongamos que la fórmula es cierta para algún \( n = k \), es decir:
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{n}{2n+1}
\]
Queremos demostrar que la fórmula también es cierta para \( n = k+1 \).

**Queremos probar:** 
\[
\sum_{k=1}^{k+1} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{k+1}{2(k+1)+1}
\]

Usamos la hipótesis inductiva para escribir la suma hasta \( n = k+1 \) de la siguiente forma:
\[
\sum_{k=1}^{k+1} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \sum_{k=1}^{k} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} + \frac{1}{(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}
\]

Por la hipótesis inductiva:
\[
\sum_{k=1}^{k} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{k}{2k+1}
\]
Entonces:
\[
\frac{k}{2k+1} + \frac{1}{(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)} = \frac{k}{2k+1} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}
\]

El siguiente paso es sumar estas dos fracciones. El denominador común es \( (2k+1)(2k+3) \), entonces tenemos:

\[
\frac{k}{2k+1} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k(2k+3) + 1}{(2k+1)(2k+3)}
\]

Simplificamos el numerador:

\[
k(2k+3) + 1 = 2k^2 + 3k + 1
\]

Por lo tanto, la fracción se convierte en:

\[
\frac{2k^2 + 3k + 1}{(2k+1)(2k+3)}
\]

Ahora observamos que el numerador \( 2k^2 + 3k + 1 \) es exactamente igual a \( (k+1)(2k+1) \). Así que podemos escribir:

\[
\frac{(k+1)(2k+3)}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3}
\]

Esto demuestra que la fórmula es cierta para \( n = k+1 \), completando el paso inductivo.

### Conclusión:
Por el principio de inducción matemática, hemos demostrado que:
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{n}{2n+1}
\]
es cierta para todo \( n \in \mathbb{Z}^+ \) (enteros positivos).

---

¿Te gustaría ver más detalles de algún paso? Aquí algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se elige el denominador común en la suma de fracciones?
2. ¿Por qué es importante simplificar el numerador después de sumar las fracciones?
3. ¿Cómo se verifica el caso base en la inducción matemática?
4. ¿Cuáles son las aplicaciones de la inducción matemática en otros problemas?
5. ¿Cómo saber cuándo una fracción puede simplificarse en una demostración?

**Tip:** Cuando uses inducción matemática, siempre empieza probando el caso más simple para asegurar que el patrón funcione desde el inicio.

Verify the summation formula 1/(1*3) + 1/(3*5) + ... + 1/[(2n-1)(2n+1)] = n/(2n+1) using mathematical induction. This proof covers key concepts like summation and the principle of mathematical induction, suitable for students in Grades 10-12.

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