Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a ejecutar en 14 días cierta obra. Al cabo de 9 días, solo han realizado 3/7 de la obra. ¿Cuántos hombres más tendrán que ser contratados para terminar la obra en el tiempo pactado?

Vamos a resolver el problema paso a paso:

### Paso 1: Determinar el trabajo realizado y el trabajo restante

La cuadrilla de 15 hombres ha completado \( \frac{3}{7} \) de la obra en 9 días. Por lo tanto, el trabajo restante es:

\[
1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}
\]

### Paso 2: Calcular la eficiencia de trabajo de los 15 hombres

Los 15 hombres han trabajado durante 9 días y han completado \( \frac{3}{7} \) de la obra. La eficiencia del trabajo de la cuadrilla se puede calcular como:

\[
\text{Eficiencia diaria de 15 hombres} = \frac{\frac{3}{7}}{9} = \frac{3}{63} = \frac{1}{21}
\]

Esto significa que 15 hombres completan \( \frac{1}{21} \) de la obra por día.

### Paso 3: Calcular la eficiencia de un solo hombre

La eficiencia de un solo hombre por día es:

\[
\text{Eficiencia de un hombre} = \frac{\frac{1}{21}}{15} = \frac{1}{315}
\]

### Paso 4: Determinar el tiempo restante y el trabajo por completar

Quedan \(14 - 9 = 5\) días para completar el trabajo restante de \( \frac{4}{7} \) de la obra.

### Paso 5: Calcular cuántos hombres se necesitan para completar la obra en el tiempo restante

Sea \(x\) el número total de hombres necesarios para completar la obra en los 5 días restantes. La eficiencia diaria de \(x\) hombres es:

\[
\text{Eficiencia diaria de } x \text{ hombres} = \frac{x}{315}
\]

El trabajo total que \(x\) hombres deben completar en 5 días es \( \frac{4}{7} \). Así, planteamos la ecuación:

\[
5 \times \frac{x}{315} = \frac{4}{7}
\]

### Paso 6: Resolver la ecuación para \(x\)

Multiplicamos ambos lados por 315 para eliminar el denominador:

\[
5x = \frac{4}{7} \times 315
\]

Calculamos el lado derecho:

\[
\frac{4}{7} \times 315 = 4 \times 45 = 180
\]

Por lo tanto,

\[
5x = 180
\]

Dividimos ambos lados por 5:

\[
x = 36
\]

### Paso 7: Determinar cuántos hombres adicionales se necesitan

Como inicialmente había 15 hombres trabajando, el número de hombres adicionales que se necesitan es:

\[
36 - 15 = 21
\]

### Respuesta

Se deben contratar **21 hombres más** para completar la obra en el tiempo pactado.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre esta solución?

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Cómo calcular la eficiencia de un grupo de trabajadores si varía el número de hombres y días?
2. ¿Qué sucede si el número de hombres contratados adicionalmente no es suficiente?
3. ¿Cómo se pueden calcular los costos de contratar hombres adicionales en base a su eficiencia?
4. ¿Cómo afecta la disminución de la eficiencia de los trabajadores a lo largo del tiempo?
5. ¿Cómo cambiaría el problema si se trabajara con horarios parciales o turnos?

### Tip
Para problemas de eficiencia, es útil expresar siempre el trabajo en términos de "trabajo por hombre por día" para simplificar los cálculos.

Explore how to solve work and time problems involving 15 men completing a task in 14 days. This detailed solution calculates efficiency, work completed, and additional manpower required. Suitable for high school students studying work and time problems in mathematics.

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