Resuelva los sistemas lineales aplicando el Método de Choleski

    2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 3
{   𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1
     −𝑥 + 4𝑦 = −2


Para resolver el sistema de ecuaciones lineales usando el Método de Cholesky, primero necesitamos representar el sistema en forma de matriz \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\). 

El sistema dado es:

\[
\begin{aligned}
1. & \quad 2x + 3y + z = 3 \\
2. & \quad x + 2y + z = 1 \\
3. & \quad -x + 4y = -2
\end{aligned}
\]

Podemos escribir esto en forma matricial:

\[
A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 4 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}
\]

### Paso 1: Verificar si la matriz es simétrica y definida positiva

Para aplicar el Método de Cholesky, la matriz \(A\) debe ser simétrica y definida positiva. Sin embargo, la matriz \(A\) dada no es simétrica (sus elementos no son iguales a sus elementos transpuestos).

El Método de Cholesky requiere una matriz simétrica y definida positiva, por lo que no se puede aplicar directamente en este caso. En lugar de esto, podríamos usar otro método como la eliminación de Gauss o descomposiciones LU.

Para asegurarnos, revisamos la simetría de la matriz:

\[
A \neq A^T \quad \text{(no es simétrica)}
\]

### Solución Alternativa: Método de Eliminación Gaussiana

Si desea que procedamos con otro método como la eliminación de Gauss o la descomposición LU, puedo hacerlo.

¿Le gustaría que resolviera el sistema utilizando otro método? 

---

Si tiene alguna pregunta o desea que explique algún paso con más detalle, házmelo saber. 

Aquí hay algunas preguntas relacionadas que pueden ser de su interés:

1. ¿Cómo se determina si una matriz es definida positiva?
2. ¿Cuándo es apropiado usar el Método de Cholesky?
3. ¿Cómo se resuelve un sistema lineal con el método de eliminación Gaussiana?
4. ¿Qué es la descomposición LU y cuándo se usa?
5. ¿Cómo verificar si una matriz es simétrica?

**Tip:** Para aplicar el Método de Cholesky, siempre verifica primero si la matriz es simétrica y definida positiva.

Resuelva los sistemas lineales aplicando el Método de Cholesky

    2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 3
    𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1
    −𝑥 + 4𝑦 = −2

Learn how to solve a system of linear equations using Cholesky decomposition. This problem covers key concepts in linear algebra, including matrix factorization and the conditions for applying Cholesky decomposition. The matrix symmetry and positive definiteness are also discussed, along with alternative methods like Gaussian elimination.

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