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ayudame a resolver esta ecuacion diferencial por el metodo de variables separables

La ecuación diferencial que proporcionaste es:

\[
\frac{y \, dy}{x \, dx} = \left(1 + x^2\right)^{-\frac{1}{2}} \left(1 + y^2\right)^{-\frac{1}{2}}
\]

Para resolverla por el método de **variables separables**, seguimos estos pasos:

### Paso 1: Separar las variables
Reorganizamos la ecuación de modo que todos los términos que involucran \(y\) estén en un lado y los términos que involucran \(x\) estén en el otro.

\[
\frac{y \, dy}{(1 + y^2)^{\frac{1}{2}}} = \frac{dx}{x (1 + x^2)^{\frac{1}{2}}}
\]

### Paso 2: Integrar ambos lados
Integramos ambos lados de la ecuación por separado.

- Del lado izquierdo:

\[
\int \frac{y \, dy}{(1 + y^2)^{\frac{1}{2}}}
\]

Aquí podemos hacer la sustitución \(u = 1 + y^2\), con \(du = 2y \, dy\), lo que nos lleva a:

\[
\int \frac{y \, dy}{(1 + y^2)^{\frac{1}{2}}} = \int \frac{du}{2u^{\frac{1}{2}}} = \int \frac{du}{2\sqrt{u}} = \sqrt{u} + C_1
\]

Volviendo a \(y\):

\[
\int \frac{y \, dy}{(1 + y^2)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{1 + y^2}
\]

- Del lado derecho:

\[
\int \frac{dx}{x (1 + x^2)^{\frac{1}{2}}}
\]

Aquí hacemos la sustitución \(v = 1 + x^2\), con \(dv = 2x \, dx\), lo que nos lleva a:

\[
\int \frac{dx}{x (1 + x^2)^{\frac{1}{2}}} = \int \frac{dv}{2v^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{v} + C_2
\]

Volviendo a \(x\):

\[
\int \frac{dx}{x (1 + x^2)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{1 + x^2}
\]

### Paso 3: Solución general
Ahora igualamos las dos integrales:

\[
\sqrt{1 + y^2} = \sqrt{1 + x^2} + C
\]

Donde \(C = C_2 - C_1\) es la constante de integración general.

### Paso 4: Elevar al cuadrado ambos lados
Para eliminar las raíces cuadradas, elevamos ambos lados al cuadrado:

\[
1 + y^2 = 1 + x^2 + 2C\sqrt{1 + x^2} + C^2
\]

Este sería el resultado general de la ecuación diferencial.

---

¿Te gustaría detalles adicionales sobre algún paso o cómo proceder con la constante? Aquí tienes 5 preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Quieres que profundice en la justificación del método de separación de variables?
2. ¿Te gustaría un ejemplo de cómo aplicar condiciones iniciales para encontrar \(C\)?
3. ¿Deberíamos explorar más sustituciones alternativas para resolver las integrales?
4. ¿Cómo podemos interpretar geométricamente esta solución?
5. ¿Te gustaría ver otro método alternativo para resolver esta ecuación?

**Tip:** Cuando se utilizan sustituciones en ecuaciones diferenciales, es fundamental volver siempre a las variables originales al final del proceso para interpretar correctamente la solución.

Help me solve this differential equation using the method of separable variables.

This page explains how to solve a separable differential equation of the form \( \frac{y dy}{x dx} = (1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} (1 + y^2)^{-\frac{1}{2}} \) using the method of separable variables. It involves integral calculations and substitution techniques. Suitable for college-level calculus students.

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