Tentukan u,v,w tak negative yang memenuhi perstidaksamaan dibawah ini menggunakan 
metode simplek!  
2𝑢+3𝑣−5𝑤≤12 
2𝑢−𝑣+3𝑤≤3 
3𝑢+𝑣−2𝑤≤2 
Dan memaksimumkan 𝑓=9𝑢+2𝑣+5𝑤

Mari kita selesaikan masalah ini menggunakan metode simpleks langkah demi langkah.

### Langkah 1: Mengubah Ketidaksamaan Menjadi Persamaan

Tambahkan variabel slack \( s_1 \), \( s_2 \), dan \( s_3 \) untuk mengubah ketidaksamaan menjadi persamaan:
1. \( 2u + 3v - 5w + s_1 = 12 \)
2. \( 2u - v + 3w + s_2 = 3 \)
3. \( 3u + v - 2w + s_3 = 2 \)

Fungsi tujuan adalah:
\[ f = 9u + 2v + 5w \]

### Langkah 2: Matriks Simpleks Awal

Susun matriks simpleks awal:
\[
\begin{array}{c|cccccc|c}
\text{Basis} & u & v & w & s_1 & s_2 & s_3 & RHS \\
\hline
s_1 & 2 & 3 & -5 & 1 & 0 & 0 & 12 \\
s_2 & 2 & -1 & 3 & 0 & 1 & 0 & 3 \\
s_3 & 3 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
z & -9 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\]

### Langkah 3: Iterasi Simpleks

#### Iterasi 1:
- Pilih kolom pivot: kolom \( u \) (nilai -9 di baris z).
- Tentukan baris pivot: hitung rasio \( \frac{\text{RHS}}{\text{koefisien pivot}} \).
  - Baris 1: \( \frac{12}{2} = 6 \)
  - Baris 2: \( \frac{3}{2} = 1.5 \)
  - Baris 3: \( \frac{2}{3} \approx 0.67 \) (minimum)

Baris pivot adalah baris 3.

#### Pivoting:
- Bagi baris pivot dengan elemen pivot \( u = 3 \) di baris 3:
  \[
  s_3 \rightarrow \left[1, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, 0, 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right]
  \]
- Eliminasikan elemen \( u \) di baris lainnya:
  \[
  s_1 \rightarrow s_1 - 2 \times s_3 = \left[0, \frac{7}{3}, -\frac{7}{3}, 1, 0, -\frac{2}{3}, \frac{20}{3} \right]
  \]
  \[
  s_2 \rightarrow s_2 - 2 \times s_3 = \left[0, -\frac{5}{3}, \frac{11}{3}, 0, 1, -\frac{2}{3}, \frac{5}{3} \right]
  \]
  \[
  z \rightarrow z + 9 \times s_3 = \left[0, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, 0, 0, 3, 6 \right]
  \]

Matriks setelah pivoting:
\[
\begin{array}{c|cccccc|c}
\text{Basis} & u & v & w & s_1 & s_2 & s_3 & RHS \\
\hline
s_1 & 0 & \frac{7}{3} & -\frac{7}{3} & 1 & 0 & -\frac{2}{3} & \frac{20}{3} \\
s_2 & 0 & -\frac{5}{3} & \frac{11}{3} & 0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{5}{3} \\
u & 1 & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\
\hline
z & 0 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 0 & 0 & 3 & 6 \\
\end{array}
\]

### Langkah 4: Lanjutkan Iterasi

Lanjutkan iterasi sampai semua koefisien dalam baris z tidak ada yang negatif. Berikut adalah iterasi-iterasi berikutnya:

#### Iterasi 2:
- Pilih kolom pivot: kolom \( w \) (nilai -\(\frac{1}{3}\) di baris z).
- Tentukan baris pivot: hitung rasio \( \frac{\text{RHS}}{\text{koefisien pivot}} \).
  - Baris 1: \( \frac{20/3}{-7/3} = -\frac{20}{7} \) (tidak valid karena negatif)
  - Baris 2: \( \frac{5/3}{11/3} = \frac{5}{11} \)
  - Baris u: \( \frac{2/3}{-2/3} = -1 \) (tidak valid karena negatif)

Baris pivot adalah baris 2.

#### Pivoting:
- Bagi baris pivot dengan elemen pivot \( w = \frac{11}{3} \) di baris 2:
  \[
  s_2 \rightarrow \left[0, -\frac{5}{3}, 1, 0, \frac{3}{11}, -\frac{2}{11}, \frac{5}{11} \right]
  \]
- Eliminasikan elemen \( w \) di baris lainnya:
  \[
  s_1 \rightarrow s_1 + \frac{7}{3} \times s_2 = \left[0, 0, 0, 1, \frac{7}{11}, -\frac{2}{11}, \frac{10}{11} \right]
  \]
  \[
  u \rightarrow u + \frac{2}{3} \times s_2 = \left[1, 0, 0, 0, \frac{2}{11}, \frac{1}{11}, \frac{4}{11} \right]
  \]
  \[
  z \rightarrow z + \frac{1}{3} \times s_2 = \left[0, 0, 0, 0, \frac{1}{11}, \frac{31}{33}, \frac{73}{33} \right]
  \]

Matriks setelah pivoting:
\[
\begin{array}{c|cccccc|c}
\text{Basis} & u & v & w & s_1 & s_2 & s_3 & RHS \\
\hline
s_1 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{7}{11} & -\frac{2}{11} & \frac{10}{11} \\
s_2 & 0 & -\frac{5}{3} & 1 & 0 & \frac{3}{11} & -\frac{2}{11} & \frac{5}{11} \\
u & 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{2}{11} & \frac{1}{11} & \frac{4}{11} \\
\hline
z & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{11} & \frac{31}{33} & \frac{73}{33} \\
\end{array}
\]

Semua koefisien di baris z sekarang non-negatif, jadi solusi optimal telah tercapai.

### Hasil Akhir
Nilai optimal dari \( u, v, \) dan \( w \) adalah:
- \( u = \frac{4}{11} \)
- \( v = 0 \)
- \( w = 0 \)

Fungsi tujuan maksimum \( f = \frac{73}{33} \).

Silakan tanya jika Anda ingin penjelasan lebih rinci atau memiliki pertanyaan lain.

1. Bagaimana cara menulis persamaan standar dalam metode simpleks?
2. Apa itu variabel slack dan apa fungsinya dalam metode simpleks?
3. Bagaimana menentukan elemen pivot dalam metode simpleks?
4. Bagaimana cara menghilangkan elemen di kolom pivot lainnya?
5. Apa yang dilakukan jika semua koefisien dalam baris \( z \) positif?

**Tip:** Dalam metode simpleks, selalu pastikan persamaan Anda dalam bentuk standar sebelum memulai iterasi.

Learn how to solve linear programming problems using the simplex method step-by-step. This problem involves maximizing a linear objective function subject to linear constraints. Explore the conversion of inequalities to equations and the iteration process of the simplex method.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation