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➢ Resolver las siguientes desigualdades de primer grado, así como 
su intervalo y valor verdadero. 

La desigualdad que se muestra es:

\[
\frac{5}{6}(3 - x) - \frac{1}{2}(x - 4) \geq \frac{1}{3}(2x - 3) - x
\]

Voy a resolverla paso a paso.

### Paso 1: Expandir todos los términos
Distribuimos las fracciones en ambos lados de la desigualdad:

\[
\frac{5}{6}(3 - x) = \frac{5}{6} \cdot 3 - \frac{5}{6} \cdot x = \frac{15}{6} - \frac{5}{6}x = \frac{5}{2} - \frac{5}{6}x
\]
\[
-\frac{1}{2}(x - 4) = -\frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot 4 = -\frac{1}{2}x + 2
\]
\[
\frac{1}{3}(2x - 3) = \frac{1}{3} \cdot 2x - \frac{1}{3} \cdot 3 = \frac{2}{3}x - 1
\]

Por lo tanto, la desigualdad queda como:

\[
\left(\frac{5}{2} - \frac{5}{6}x\right) - \left(\frac{1}{2}x - 2\right) \geq \left(\frac{2}{3}x - 1\right) - x
\]

### Paso 2: Simplificar ambos lados

En el lado izquierdo, agrupamos términos semejantes:

\[
\frac{5}{2} - \frac{5}{6}x - \frac{1}{2}x + 2 = \frac{5}{2} + 2 - \left(\frac{5}{6}x + \frac{1}{2}x\right) = \frac{9}{2} - \left(\frac{5}{6}x + \frac{3}{6}x\right) = \frac{9}{2} - \frac{8}{6}x = \frac{9}{2} - \frac{4}{3}x
\]

En el lado derecho, también agrupamos términos semejantes:

\[
\frac{2}{3}x - 1 - x = \frac{2}{3}x - 1 - \frac{3}{3}x = -\frac{1}{3}x - 1
\]

Entonces la desigualdad se convierte en:

\[
\frac{9}{2} - \frac{4}{3}x \geq -\frac{1}{3}x - 1
\]

### Paso 3: Eliminar las fracciones

Multiplicamos toda la desigualdad por 6 para deshacernos de las fracciones:

\[
6 \cdot \left(\frac{9}{2} - \frac{4}{3}x\right) \geq 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}x - 1\right)
\]
\[
6 \cdot \frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{4}{3}x \geq 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}x\right) - 6 \cdot 1
\]
\[
27 - 8x \geq -2x - 6
\]

### Paso 4: Resolver para \( x \)

Ahora resolvemos la desigualdad:

\[
27 - 8x \geq -2x - 6
\]

Sumamos \( 8x \) y \( 6 \) a ambos lados:

\[
27 \geq 6x - 6
\]

Sumamos \( 6 \) a ambos lados:

\[
33 \geq 6x
\]

Finalmente, dividimos ambos lados por 6:

\[
x \leq \frac{33}{6} = 5.5
\]

### Paso 5: Intervalo solución

La solución de la desigualdad es:

\[
x \leq 5.5
\]

### Paso 6: Valor verdadero

El intervalo solución es \( (-\infty, 5.5] \), lo que significa que todos los valores de \( x \) menores o iguales a \( 5.5 \) satisfacen la desigualdad.

---

¿Te gustaría que profundice en algún paso o necesitas algún detalle adicional?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se manejan las fracciones en desigualdades?
2. ¿Qué pasa si multiplicamos una desigualdad por un número negativo?
3. ¿Cómo se representa la solución de una desigualdad en la recta numérica?
4. ¿Qué es una desigualdad lineal de primer grado?
5. ¿Cómo puedes comprobar si una solución es correcta en una desigualdad?

### Tip:
Recuerda que al multiplicar o dividir una desigualdad por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia.

Resolver las siguientes desigualdades de primer grado, así como su intervalo y valor verdadero.

Learn how to solve a linear inequality involving fractions step by step. This problem explores key algebraic concepts such as distributing fractions, simplifying terms, and solving inequalities. Suitable for students in Grades 8-10.

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