resuelve la siguiente ecucuacion diferencial paso a paso por el metodo de ecuaciones exactas: (9 + x^2y^2)(dx + dy) = 3(xdx + ydy)


Vamos a resolver la ecuación diferencial \((9 + x^2y^2)(dx + dy) = 3(xdx + ydy)\) paso a paso usando el método de ecuaciones exactas.

### Paso 1: Expresar la ecuación diferencial en la forma estándar

Primero, reorganizamos la ecuación para que esté en la forma estándar de una ecuación diferencial exacta, que es:

\[
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
\]

Distribuimos ambos lados de la ecuación:

\[
(9 + x^2y^2)dx + (9 + x^2y^2)dy = 3(xdx + ydy)
\]

Ahora expandimos el lado derecho de la ecuación:

\[
(9 + x^2y^2)dx + (9 + x^2y^2)dy = 3xdx + 3ydy
\]

Luego, llevamos todos los términos al lado izquierdo:

\[
(9 + x^2y^2)dx + (9 + x^2y^2)dy - 3xdx - 3ydy = 0
\]

Agrupamos los términos en \(dx\) y \(dy\):

\[
[(9 + x^2y^2 - 3x)]dx + [(9 + x^2y^2 - 3y)]dy = 0
\]

De este modo, identificamos \(M(x, y)\) y \(N(x, y)\) como:

\[
M(x, y) = 9 + x^2y^2 - 3x
\]
\[
N(x, y) = 9 + x^2y^2 - 3y
\]

### Paso 2: Verificar la exactitud de la ecuación

Para que la ecuación sea exacta, debemos verificar si se cumple la condición de exactitud:

\[
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
\]

Calculamos primero \(\frac{\partial M}{\partial y}\):

\[
M(x, y) = 9 + x^2y^2 - 3x
\]
\[
\frac{\partial M}{\partial y} = 2x^2y
\]

Ahora calculamos \(\frac{\partial N}{\partial x}\):

\[
N(x, y) = 9 + x^2y^2 - 3y
\]
\[
\frac{\partial N}{\partial x} = 2x^2y
\]

Como \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} = 2x^2y\), la ecuación es exacta.

### Paso 3: Encontrar la función potencial \( \psi(x, y) \)

Sabemos que existe una función \( \psi(x, y) \) tal que:

\[
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x, y) = 9 + x^2y^2 - 3x
\]
\[
\frac{\partial \psi}{\partial y} = N(x, y) = 9 + x^2y^2 - 3y
\]

Integramos \(M(x, y)\) con respecto a \(x\):

\[
\psi(x, y) = \int (9 + x^2y^2 - 3x) dx
\]

Resolvemos la integral:

\[
\psi(x, y) = 9x + \frac{x^3y^2}{3} - \frac{3x^2}{2} + h(y)
\]

Donde \(h(y)\) es una función de \(y\) que actúa como la constante de integración en términos de \(x\).

### Paso 4: Determinar \(h(y)\)

Para encontrar \(h(y)\), utilizamos la ecuación \(\frac{\partial \psi}{\partial y} = N(x, y)\). Derivamos \(\psi(x, y)\) con respecto a \(y\):

\[
\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{x^3}{3} \cdot 2y + h'(y) = x^3y + h'(y)
\]

Igualamos esto a \(N(x, y) = 9 + x^2y^2 - 3y\):

\[
x^3y + h'(y) = 9 + x^2y^2 - 3y
\]

Para que esto se cumpla, los términos que no dependen de \(x\) deben ser iguales. Por lo tanto, podemos deducir que:

\[
h'(y) = -3y
\]

Integramos con respecto a \(y\):

\[
h(y) = -\frac{3y^2}{2} + C
\]

### Paso 5: Escribir la solución general

Sustituimos \(h(y)\) en la expresión para \(\psi(x, y)\):

\[
\psi(x, y) = 9x + \frac{x^3y^2}{3} - \frac{3x^2}{2} - \frac{3y^2}{2} + C
\]

La solución general de la ecuación diferencial exacta es:

\[
\psi(x, y) = C
\]

Es decir, la solución implícita es:

\[
9x + \frac{x^3y^2}{3} - \frac{3x^2}{2} - \frac{3y^2}{2} = C
\]

### ¿Tienes alguna pregunta o quieres más detalles sobre algún paso?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se verifica si una ecuación diferencial es exacta?
2. ¿Qué otras técnicas se pueden utilizar para resolver ecuaciones diferenciales si no son exactas?
3. ¿Cómo afecta la función potencial \(\psi(x, y)\) al encontrar la solución?
4. ¿Qué sucede si no se cumple la condición de exactitud? ¿Qué método se utiliza?
5. ¿Cómo se integran funciones con varias variables?

**Tip:** Al resolver ecuaciones diferenciales exactas, siempre verifica que se cumpla la condición de exactitud antes de proceder a buscar la función potencial.

resuelve la siguiente ecuacion diferencial paso a paso por el metodo de ecuaciones exactas: (9 + x^2y^2)(dx + dy) = 3(xdx + ydy)

Step-by-step solution of the exact differential equation (9 + x^2y^2)(dx + dy) = 3(xdx + ydy) using exact differential methods. Includes concepts such as partial derivatives, exactness conditions, and potential functions. Suitable for undergraduate calculus students.

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