ayudame resolviendo el siguiente ejercicio paso a paso y′′−4y′+4y=sin(x)e^2X

¡Claro! Vamos a resolver la ecuación diferencial no homogénea paso a paso. La ecuación es:

\[
y'' - 4y' + 4y = \sin(x) e^{2x}
\]

### Paso 1: Resolver la ecuación homogénea
Primero, resolveremos la ecuación homogénea asociada, que es:

\[
y'' - 4y' + 4y = 0
\]

Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes. Para resolverla, planteamos la **ecuación característica**:

\[
r^2 - 4r + 4 = 0
\]

Esta es una ecuación cuadrática. Vamos a resolverla.

\[
r = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}
\]
\[
r = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} = \frac{4 \pm 0}{2} = 2
\]

Tenemos una **raíz doble** en \( r = 2 \). Por lo tanto, la solución general de la ecuación homogénea es:

\[
y_h(x) = (C_1 + C_2 x) e^{2x}
\]

### Paso 2: Encontrar la solución particular
Ahora, buscamos una solución particular para la ecuación no homogénea:

\[
y'' - 4y' + 4y = \sin(x) e^{2x}
\]

Dado que el término no homogéneo \( \sin(x) e^{2x} \) involucra \( e^{2x} \), que también está presente en la solución de la ecuación homogénea, necesitamos ajustar nuestra suposición para la solución particular.

Supongamos una solución particular de la forma:

\[
y_p(x) = e^{2x} (A \sin(x) + B \cos(x))
\]

### Paso 3: Derivar la solución particular
Derivemos \( y_p(x) \) para sustituirlo en la ecuación diferencial original. Calcularemos las primeras dos derivadas de \( y_p(x) \).

1. Primera derivada \( y_p'(x) \)
2. Segunda derivada \( y_p''(x) \)

Voy a realizar estas derivadas para continuar.# Derivamos la función particular nuevamente para los pasos detallados
y_p = exp(2*x) * (A*sin(x) + B*cos(x))

# Derivar y_p respecto a x (primera y segunda derivada)
y_p_prime = diff(y_p, x)
y_p_double_prime = diff(y_p_prime, x)

y_p_prime, y_p_double_primeLas derivadas de la solución particular \( y_p(x) = e^{2x}(A \sin(x) + B \cos(x)) \) son:

1. Primera derivada \( y_p'(x) \):
\[
y_p'(x) = 2(A \sin(x) + B \cos(x)) e^{2x} + (A \cos(x) - B \sin(x)) e^{2x}
\]

2. Segunda derivada \( y_p''(x) \):
\[
y_p''(x) = -A \sin(x) e^{2x} - B \cos(x) e^{2x} + 4(A \sin(x) + B \cos(x)) e^{2x} + 2(A \cos(x) - B \sin(x)) e^{2x} + 2(A \cos(x) - B \sin(x)) e^{2x}
\]

### Paso 4: Sustituir en la ecuación original

Ahora sustituimos \( y_p(x) \), \( y_p'(x) \) y \( y_p''(x) \) en la ecuación diferencial original:

\[
y'' - 4y' + 4y = \sin(x) e^{2x}
\]

Voy a simplificar la expresión al sustituir estos términos en la ecuación original.# Sustituimos las derivadas en la ecuación original (y'' - 4y' + 4y = sin(x) e^2x)

lhs_full = y_p_double_prime - 4*y_p_prime + 4*y_p

# Simplificar la expresión
lhs_full_simplified = lhs_full.simplify()
lhs_full_simplifiedAl sustituir las derivadas en la ecuación original, obtenemos la siguiente expresión simplificada:

\[
-(A \sin(x) + B \cos(x)) e^{2x}
\]

Esta expresión debe ser igual al lado derecho de la ecuación original:

\[
\sin(x) e^{2x}
\]

### Paso 5: Igualar los coeficientes

Al igualar los coeficientes de \( \sin(x) \)

Explore a detailed step-by-step solution to solve the non-homogeneous differential equation y'' - 4y' + 4y = sin(x) e^2x. Understand the method of undetermined coefficients and find both homogeneous and particular solutions. Ideal for college-level students and learners of differential equations.

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