L'équation différentielle donnée est :

\[ x'' - x = 1 \]

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 non homogène. Pour la résoudre, nous suivrons les étapes suivantes :

1. **Résolution de l'équation homogène associée :**

L'équation homogène est :

\[ x'' - x = 0 \]

L'équation caractéristique associée est :

\[ r^2 - 1 = 0 \]

Les solutions de cette équation sont :

\[ r = 1 \quad \text{et} \quad r = -1 \]

Donc, la solution générale de l'équation homogène est :

\[ x_h(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-t} \]

2. **Trouver une solution particulière de l'équation complète :**

L'équation complète est :

\[ x'' - x = 1 \]

Pour trouver une solution particulière \(x_p\), nous essayons une fonction constante, \(x_p = A\), car le terme non homogène est une constante. En substituant \(x_p = A\) dans l'équation différentielle, on obtient :

\[ 0 - A = 1 \]

Donc, \(A = -1\). La solution particulière est donc :

\[ x_p = -1 \]

3. **Solution générale de l'équation :**

La solution générale de l'équation différentielle est la somme de la solution générale de l'équation homogène et de la solution particulière :

\[ x(t) = x_h(t) + x_p = C_1 e^t + C_2 e^{-t} - 1 \]

Voilà la solution générale de l'équation \(x'' - x = 1\).

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires ? 

Voici quelques questions connexes :
1. Comment déterminer les constantes \(C_1\) et \(C_2\) ?
2. Quels types de conditions initiales pourraient être appliquées à ce problème ?
3. Comment résout-on une équation différentielle avec des termes non constants ?
4. Pourquoi choisit-on une constante pour la solution particulière ici ?
5. Que se passe-t-il si le terme non homogène est une fonction de \(t\) au lieu d'une constante ?

**Tip :** Pour résoudre des équations différentielles non homogènes, il est souvent utile d'essayer des formes de solutions particulières en fonction de la nature du terme non homogène.

Learn how to solve the second order non-homogeneous differential equation x'' - x = 1 with step-by-step solutions. This problem involves finding solutions to the associated homogeneous equation, determining a particular solution, and combining them to form the general solution.

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