Considere o sinal x(t)=-4e-2tu(t). Sendo assim, o valor da transformada de Laplace de x(t) é igual a:

Para encontrar a transformada de Laplace do sinal \( x(t) = -4e^{-2t}u(t) \), precisamos aplicar a definição da transformada de Laplace.

### Transformada de Laplace

A transformada de Laplace de uma função \( x(t) \) é dada por:

\[
\mathcal{L}\{x(t)\} = X(s) = \int_{0}^{\infty} x(t) e^{-st} dt
\]

Neste caso, temos:

\[
x(t) = -4e^{-2t}u(t)
\]

Como \( u(t) \) é a função degrau unitário, que é igual a 1 para \( t \geq 0 \), podemos reescrever o sinal como:

\[
x(t) = -4e^{-2t} \quad \text{para } t \geq 0
\]

Agora, aplicamos a transformada de Laplace:

\[
X(s) = \int_{0}^{\infty} -4e^{-2t} e^{-st} dt
\]

Podemos simplificar o integrando:

\[
X(s) = -4 \int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t} dt
\]

### Integração

A integral de uma função exponencial da forma \( e^{-\alpha t} \) é dada por:

\[
\int e^{-\alpha t} dt = \frac{e^{-\alpha t}}{-\alpha}
\]

Aplicando isso à nossa integral:

\[
X(s) = -4 \left[ \frac{e^{-(s+2)t}}{-(s+2)} \right]_{0}^{\infty}
\]

Agora, avaliamos os limites:

1. Quando \( t \to \infty \), \( e^{-(s+2)t} \to 0 \) (desde que a parte real de \( s \) seja maior que \(-2\)).
2. Quando \( t = 0 \), \( e^{-(s+2) \cdot 0} = 1 \).

Então:

\[
X(s) = -4 \left( 0 - \frac{1}{-(s+2)} \right)
\]

Simplificando:

\[
X(s) = \frac{-4}{-(s+2)} = \frac{4}{s+2}
\]

Portanto, a transformada de Laplace de \( x(t) = -4e^{-2t}u(t) \) é:

\[
X(s) = \frac{4}{s+2}
\]

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta? Aqui estão 5 questões relacionadas para expandir o conteúdo:

1. Como a transformada de Laplace pode ser usada para resolver equações diferenciais?
2. Qual é a condição de existência da transformada de Laplace?
3. Como interpretar fisicamente o polo na transformada de Laplace?
4. Qual é a transformada de Laplace da derivada de uma função?
5. Como a função degrau unitário \( u(t) \) afeta a transformada de Laplace?

**Dica:** A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para converter equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a resolução de sistemas dinâmicos.

Explore how to calculate the Laplace transform of x(t) = -4e^-2t*u(t) step-by-step. Understand the concept of Laplace transform, exponential integration, and unit step function. Suitable for advanced high school students.

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