resolver encontrando el conjunto de soluciones: 2 / (3 - x) ≥ -5 / (x + 1)

Para resolver la desigualdad \( \frac{2}{3 - x} \geq \frac{-5}{x + 1} \), seguimos estos pasos:

### Paso 1: Determinar las restricciones de la desigualdad
Debemos asegurar que las expresiones en los denominadores no sean iguales a cero:

1. \( 3 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \)
2. \( x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 \)

Por lo tanto, \( x \) no puede ser ni 3 ni -1.

### Paso 2: Multiplicar ambos lados por el producto de los denominadores
Multiplicamos ambos lados de la desigualdad por \( (3 - x)(x + 1) \). Esto elimina los denominadores, pero debemos tener cuidado con el signo de la desigualdad, ya que depende del signo de \( (3 - x)(x + 1) \).

\[
(3 - x)(x + 1) \cdot \frac{2}{3 - x} \geq (3 - x)(x + 1) \cdot \frac{-5}{x + 1}
\]

Esto simplifica a:

\[
2(x + 1) \geq -5(3 - x)
\]

### Paso 3: Expandir y simplificar
Expandimos ambos lados de la desigualdad:

\[
2x + 2 \geq -15 + 5x
\]

### Paso 4: Reordenar términos
Reorganizamos la desigualdad para agrupar los términos de \( x \) y los constantes:

\[
2x - 5x \geq -15 - 2
\]

\[
-3x \geq -17
\]

### Paso 5: Resolver para \( x \)
Dividimos ambos lados de la desigualdad por -3, y recordamos que al dividir por un número negativo, el signo de la desigualdad cambia:

\[
x \leq \frac{-17}{-3}
\]

\[
x \leq \frac{17}{3}
\]

### Paso 6: Considerar las restricciones
Sabemos que \( x \leq \frac{17}{3} \), pero también debe cumplir con las restricciones originales \( x \neq 3 \) y \( x \neq -1 \).

### Solución final:
El conjunto de soluciones es:

\[
x \in \left(-\infty, 3\right) \cup \left(3, \frac{17}{3}\right]
\]

Este intervalo excluye \( x = 3 \) debido a la restricción original.

¿Quieres más detalles sobre el proceso o tienes alguna pregunta?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas que puedes explorar:
1. ¿Cómo afecta la multiplicación de ambos lados de una desigualdad por una expresión que puede ser negativa?
2. ¿Cómo resolver desigualdades cuadráticas?
3. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver desigualdades racionales?
4. ¿Cómo interpretar visualmente la solución de una desigualdad en la recta numérica?
5. ¿Qué sucede si se añade una constante a ambos lados de una desigualdad?

**Tip:** Siempre recuerda verificar las soluciones obtenidas en desigualdades para asegurarte de que cumplan con las restricciones del dominio original.

Learn how to solve the rational inequality 2/(3 - x) ≥ -5/(x + 1) with detailed steps. This solution covers key algebraic concepts such as handling inequalities, restrictions on denominators, and rational expressions. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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