Bestimmen sie die Lösungsmenge (L) der Ungleichung 5/-5-x ≥ -2, x ≠ -5. (Geben Sie bei getrennten Intervallen das weiter links liegende Intervall in das linke Paar von Eingabefeldern ein, Zahlen als ganze Zahl oder Bruch.)

Die Ungleichung, die wir lösen sollen, lautet:

\[
\frac{5}{-5 - x} \geq -2 \quad \text{mit} \quad x \neq -5.
\]

### Schritt 1: Ungleichung umformen
Um die Ungleichung zu lösen, multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung zunächst mit dem Ausdruck \((-5 - x)\), um den Bruch loszuwerden. Allerdings müssen wir darauf achten, dass das Vorzeichen der Ungleichung sich umkehrt, falls wir mit einem negativen Ausdruck multiplizieren.

#### Fall 1: \( -5 - x > 0 \) (d.h. \( x < -5 \))
Wenn \( -5 - x > 0 \) ist, bleibt die Ungleichung unverändert.

\[
5 \geq -2(-5 - x).
\]

Multiplizieren wir die rechte Seite aus:

\[
5 \geq 10 + 2x.
\]

Subtrahiere 10 von beiden Seiten:

\[
-5 \geq 2x.
\]

Teile durch 2:

\[
x \leq -\frac{5}{2}.
\]

Da wir den Fall \(x < -5\) betrachten, lautet die Bedingung für diesen Fall: 

\[
x < -5.
\]

Damit ergibt sich für diesen Fall keine Lösung, da \(x \leq -\frac{5}{2}\) nicht mit \(x < -5\) übereinstimmt.

#### Fall 2: \( -5 - x < 0 \) (d.h. \( x > -5 \))
Wenn \( -5 - x < 0 \), müssen wir die Ungleichung umdrehen, da wir mit einem negativen Ausdruck multiplizieren:

\[
5 \leq -2(-5 - x).
\]

Wieder multiplizieren wir die rechte Seite aus:

\[
5 \leq 10 + 2x.
\]

Subtrahiere 10 von beiden Seiten:

\[
-5 \leq 2x.
\]

Teile durch 2:

\[
x \geq -\frac{5}{2}.
\]

Zusätzlich gilt \(x > -5\), daher lautet die Bedingung für diesen Fall:

\[
x \geq -\frac{5}{2}.
\]

### Schritt 2: Lösungsmenge bestimmen
Die Ungleichung ist erfüllt für \(x \geq -\frac{5}{2}\), aber mit der Bedingung \(x \neq -5\). Da \(x \geq -\frac{5}{2}\) bereits \(x > -5\) einschließt, ist keine weitere Anpassung nötig.

Die **Lösungsmenge** ist daher:

\[
L = \left[ -\frac{5}{2}, \infty \right).
\]

Möchten Sie Details oder haben Sie Fragen dazu?

### Weiterführende Fragen:
1. Wie verändert sich die Lösungsmenge, wenn die Ungleichung stattdessen \( \frac{5}{-5 - x} \leq -2 \) lautet?
2. Was passiert, wenn wir die Gleichung statt der Ungleichung lösen würden?
3. Welche Bedeutung hat die Bedingung \(x \neq -5\) in diesem Kontext?
4. Wie würde sich die Lösung verändern, wenn auf beiden Seiten der Ungleichung ein Bruch stehen würde?
5. Welche Rolle spielt das Multiplizieren mit negativen Zahlen bei Ungleichungen?

**Tipp:** Bei Ungleichungen müssen Sie beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl immer das Ungleichungszeichen umdrehen.

Learn how to solve the inequality 5/(-5 - x) ≥ -2 with a step-by-step solution. This problem involves key algebraic concepts such as inequalities, rational expressions, and understanding the rules of inequality manipulation when multiplying or dividing by negative values. Suitable for students in Grades 9-11.

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