Resolva em R a inequação (x+2)/(2x-1) > 0

Para resolver a inequação \(\frac{x+2}{2x-1} > 0\), precisamos analisar as condições sob as quais a fração é positiva. Isso envolve identificar os pontos em que o numerador e o denominador mudam de sinal, já que o sinal da fração depende do sinal de ambos.

Vamos resolver em etapas:

### 1. Zerar o numerador e o denominador:
A fração \(\frac{x+2}{2x-1}\) será positiva quando o numerador e o denominador tiverem o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).

- **Numerador**: \(x + 2 = 0 \implies x = -2\)
- **Denominador**: \(2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}\)

Esses dois valores dividem a reta real em três intervalos: \(x < -2\), \(-2 < x < \frac{1}{2}\) e \(x > \frac{1}{2}\).

### 2. Estudo do sinal:
Agora, analisamos o sinal da fração \(\frac{x+2}{2x-1}\) em cada intervalo, observando os sinais do numerador e denominador.

- Para \(x < -2\): O numerador \((x+2)\) é negativo, e o denominador \((2x-1)\) também é negativo. Logo, a fração é positiva.
- Para \(-2 < x < \frac{1}{2}\): O numerador \((x+2)\) é positivo, e o denominador \((2x-1)\) é negativo. Logo, a fração é negativa.
- Para \(x > \frac{1}{2}\): O numerador \((x+2)\) é positivo, e o denominador \((2x-1)\) também é positivo. Logo, a fração é positiva.

### 3. Pontos críticos:
- Para \(x = -2\), o numerador é zero, então a fração é igual a zero (não atende a condição \(> 0\)).
- Para \(x = \frac{1}{2}\), o denominador é zero, o que torna a fração indefinida (não faz parte da solução).

### 4. Conclusão:
A fração \(\frac{x+2}{2x-1} > 0\) é satisfeita nos intervalos:
\[
x \in (-\infty, -2) \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)
\]

Essa é a solução da inequação.

---

Se você deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida, estou à disposição! 

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:

1. Como resolveríamos essa inequação se tivéssemos uma fração menor que zero?
2. Quais são os casos onde o numerador e o denominador são zero simultaneamente?
3. Como as soluções mudam se adicionarmos termos constantes à inequação original?
4. Como representamos essas soluções em uma reta real?
5. Como interpretar essa solução graficamente?

**Dica**: Lembre-se que quando o denominador de uma fração é zero, a fração se torna indefinida, então esses pontos nunca fazem parte da solução de uma inequação.

Learn how to solve the rational inequality (x+2)/(2x-1) > 0 step-by-step. This solution covers the key algebraic concepts of rational expressions and inequalities, including sign analysis and critical points. Suitable for students in Grades 10-12.

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