已知函数 
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
2
+
4
𝑥
−
5
f(x)=x 
2
 +4x−5。

求函数的顶点坐标。
判断该函数的增减性，并说明理由。
解不等式 
𝑓
(
𝑥
)
≤
0
f(x)≤0。

已知函数 \( f(x) = x^2 + 4x - 5 \)，我们需要完成以下任务：

### 1. 求函数的顶点坐标
对于二次函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其顶点的横坐标 \( x_{\text{顶}} \) 可以通过公式 \( x_{\text{顶}} = \frac{-b}{2a} \) 计算。

在此题中，\( a = 1 \), \( b = 4 \)，因此：
\[
x_{\text{顶}} = \frac{-4}{2 \times 1} = -2
\]
将 \( x_{\text{顶}} = -2 \) 代入函数 \( f(x) \) 中，求得顶点的纵坐标 \( y_{\text{顶}} \)：
\[
f(-2) = (-2)^2 + 4 \times (-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9
\]
因此，函数的顶点坐标为 \( (-2, -9) \)。

### 2. 判断函数的增减性
函数 \( f(x) = x^2 + 4x - 5 \) 是一个开口向上的二次函数（因为 \( a = 1 > 0 \)）。对于这样的函数：

- 当 \( x < -2 \) 时，函数递减；
- 当 \( x > -2 \) 时，函数递增。

理由：二次函数的增减性取决于其顶点的位置，顶点左侧递减，顶点右侧递增。

### 3. 解不等式 \( f(x) \leq 0 \)
我们需要解不等式 \( x^2 + 4x - 5 \leq 0 \)。首先，解对应的方程 \( x^2 + 4x - 5 = 0 \)。

利用求根公式 \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)：

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \times 1 \times (-5)}}{2 \times 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2}
\]
\[
x = \frac{-4 \pm 6}{2}
\]
因此，得到两个解：
\[
x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5
\]

不等式 \( x^2 + 4x - 5 \leq 0 \) 的解为顶点两侧的区间，即 \( -5 \leq x \leq 1 \)。

### 最终解答：
1. 顶点坐标为 \( (-2, -9) \)。
2. 函数在 \( x < -2 \) 时递减，\( x > -2 \) 时递增。
3. 不等式 \( f(x) \leq 0 \) 的解为 \( -5 \leq x \leq 1 \)。

希望这个解答对你有帮助。是否需要更多细节或者有其他问题？

#### 相关问题：
1. 如何通过平移法改变二次函数的顶点坐标？
2. 为什么二次函数的开口方向影响其增减性？
3. 如何通过配方法求解二次函数的顶点坐标？
4. 如果 \( a < 0 \)，函数的增减性如何变化？
5. 如何通过图像直观解不等式 \( f(x) \leq 0 \)？

#### 提示：
二次函数的图像是一条抛物线，开口方向由 \( a \) 的正负决定。

已知函数 f(x) = x^2 + 4x - 5。求函数的顶点坐标。判断该函数的增减性，并说明理由。解不等式 f(x) ≤ 0。

This guide explains how to solve the quadratic function f(x) = x^2 + 4x - 5 by finding the vertex, determining the function's increasing and decreasing behavior, and solving the inequality f(x) ≤ 0. Suitable for students in Grades 9-11.

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