2 次方程式
x2 − mx + (m − 1) = 0
の 2 つの解の比が 1: 3 となるように, 定数 m の値を定めよ。
答えは次の選択肢から選べ。

この問題は、与えられた二次方程式の解の比が \(1:3\) となるような定数 \(m\) の値を求める問題です。方程式は次の通りです。

\[
x^2 - mx + (m - 1) = 0
\]

二次方程式の2つの解を \( \alpha \) と \( \beta \) とします。このとき、解と係数の関係を使います。解と係数の関係から次の2つの式が得られます。

\[
\alpha + \beta = m
\]
\[
\alpha \beta = m - 1
\]

また、解の比が \( \alpha : \beta = 1:3 \) であることから、次のようにおけます。

\[
\beta = 3\alpha
\]

この情報を用いて、解いてみましょう。

1. \(\alpha + \beta = m\) に \(\beta = 3\alpha\) を代入します。

\[
\alpha + 3\alpha = m
\]
\[
4\alpha = m
\]

2. \(\alpha \beta = m - 1\) に \(\beta = 3\alpha\) を代入します。

\[
\alpha \cdot 3\alpha = m - 1
\]
\[
3\alpha^2 = m - 1
\]

ここで、1つ目の式 \(m = 4\alpha\) を2つ目の式に代入します。

\[
3\alpha^2 = 4\alpha - 1
\]
\[
3\alpha^2 - 4\alpha + 1 = 0
\]

この二次方程式を解くと、\(\alpha\) の値が求められます。次に、\(\alpha\) の値を用いて \(m\) を求めます。これにより、\(m\) の選択肢が定まります。

計算してみます。\(alpha\) の解として、以下の2つが得られました。

\[
\alpha = \frac{1}{3}, \quad \alpha = 1
\]

次に、これらの \(\alpha\) の値を使って、 \(m\) を求めます。 \(m = 4\alpha\) という関係式があるので、それぞれの \(\alpha\) に対して \(m\) の値を計算します。\(alpha\) に対応する \(m\) の値は次の通りです。

\[
m = \frac{4}{3}, \quad m = 4
\]

これが選択肢の中にある場合、該当する \(m\) の値を選択してください。

### 質問に関連する問題
1. この二次方程式の判別式を求めて、解の種類を調べる方法は？
2. \(m = 4\) の場合、解の比が \(1:3\) になることを代入して確認するには？
3. このような問題で、解の比が異なる場合、どのように変化しますか？
4. 解と係数の関係を使って、他の方程式を解く応用問題は？
5. \(m\) の値が他の選択肢の場合、解の比はどのようになりますか？

### Tip
二次方程式の解が特定の比率で与えられた場合、解と係数の関係を使って式を立てると、より簡単に解を求めることができます。

定数 m を求める問題です。与えられた二次方程式の解の比が1:3となる条件を満たすための具体的な手順を学びましょう。この問題は高校数学の二次方程式に関する重要な概念を含んでいます。

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