Resolver las siguientes ecuaciones para encontrar las raices por el metodo de Newton - Raphson.
1. f(x) = −0.5x2 + 2.5x + 4.5. localizar las raíces −2 < x1 < −1 y 6 < x2 < 7.
2. f(x) = 5x3 − 5x2 + 6x − 2. localizar las raíces xi = 0 y xu = 1.
3. f(x) = −25x − 90x2 + 44x3 − 8x4 + 0.7x5. localizar las raíces xi = 4 y xu = 5.

El método de Newton-Raphson es una técnica iterativa para encontrar raíces de funciones no lineales. El método se basa en la fórmula iterativa:

\[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
\]

Donde \(f'(x)\) es la derivada de la función \(f(x)\).

Vamos a resolver cada una de las ecuaciones utilizando este método. Para cada caso, haremos lo siguiente:

1. Encontrar \(f'(x)\), la derivada de \(f(x)\).
2. Aplicar el método de Newton-Raphson con el valor inicial dado, hasta alcanzar una aproximación adecuada para las raíces.

### 1. Ecuación \( f(x) = −0.5x^2 + 2.5x + 4.5 \)
#### a) Encontrar la derivada de \( f(x) \):
\[
f'(x) = -x + 2.5
\]
#### b) Aplicar Newton-Raphson para encontrar las raíces en los intervalos:
- Para la raíz en \( -2 < x_1 < -1 \), tomamos un valor inicial, digamos \( x_0 = -1.5 \).
- Para la raíz en \( 6 < x_2 < 7 \), tomamos un valor inicial, digamos \( x_0 = 6.5 \).

### 2. Ecuación \( f(x) = 5x^3 − 5x^2 + 6x − 2 \)
#### a) Encontrar la derivada de \( f(x) \):
\[
f'(x) = 15x^2 - 10x + 6
\]
#### b) Aplicar Newton-Raphson para encontrar las raíces:
- Para la raíz entre \( x_i = 0 \) y \( x_u = 1 \), podemos tomar \( x_0 = 0.5 \) como valor inicial.

### 3. Ecuación \( f(x) = −25x − 90x^2 + 44x^3 − 8x^4 + 0.7x^5 \)
#### a) Encontrar la derivada de \( f(x) \):
\[
f'(x) = -25 - 180x + 132x^2 - 32x^3 + 3.5x^4
\]
#### b) Aplicar Newton-Raphson para encontrar las raíces:
- Para la raíz entre \( x_i = 4 \) y \( x_u = 5 \), podemos tomar \( x_0 = 4.5 \) como valor inicial.

Voy a proceder con los cálculos numéricos para cada ecuación utilizando el método de Newton-Raphson.

### Cálculo numérico:

Voy a calcular las raíces de cada una de las ecuaciones.### Resultados de las raíces obtenidas por el método de Newton-Raphson:

1. Para la ecuación \( f(x) = -0.5x^2 + 2.5x + 4.5 \):
   - Raíz en el intervalo \( -2 < x_1 < -1 \): \( x_1 \approx -1.405 \)
   - Raíz en el intervalo \( 6 < x_2 < 7 \): \( x_2 \approx 6.405 \)

2. Para la ecuación \( f(x) = 5x^3 - 5x^2 + 6x - 2 \):
   - Raíz en el intervalo \( 0 < x < 1 \): \( x \approx 0.418 \)

3. Para la ecuación \( f(x) = -25x - 90x^2 + 44x^3 - 8x^4 + 0.7x^5 \):
   - Raíz en el intervalo \( 4 < x < 5 \): \( x \approx 4.227 \)

Si tienes preguntas o necesitas más detalles sobre el proceso, ¡avísame!

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina la convergencia en el método de Newton-Raphson?
2. ¿Cuántas iteraciones se necesitan generalmente para que el método converja?
3. ¿Cuándo es más eficiente usar Newton-Raphson en lugar de otros métodos?
4. ¿Qué sucede si el método de Newton-Raphson no converge?
5. ¿Cuál es el impacto de la elección del valor inicial en la velocidad de convergencia?

### Tip:  
El método de Newton-Raphson converge más rápido si se elige un valor inicial cercano a la raíz, pero puede no converger si el valor inicial está muy lejos.

Learn how to solve polynomial equations such as f(x) = −0.5x² + 2.5x + 4.5 and f(x) = 5x³ − 5x² + 6x − 2 using the Newton-Raphson method. Detailed steps include finding derivatives and applying iterative formulas to find the roots. This solution is suitable for advanced high school or undergraduate students.

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