Poderia criar uma questão matemática que envolvesse LOGARÍTMICA e constante de decaimento de mateis no solo?

Claro! Aqui está uma questão matemática que envolve logaritmos e a constante de decaimento de materiais no solo:

**Questão:**

Um estudo sobre a decomposição de resíduos orgânicos no solo mostra que a taxa de decaimento segue uma lei exponencial, onde a quantidade de material \( M(t) \) restante após \( t \) anos é dada pela fórmula:

\[
M(t) = M_0 \cdot e^{-kt}
\]

onde:

- \( M_0 \) é a quantidade inicial de material;
- \( k \) é a constante de decaimento específica do material;
- \( t \) é o tempo em anos.

**(a)** Sabendo que, após 5 anos, a quantidade de material no solo foi reduzida para 60% da quantidade inicial, determine o valor da constante de decaimento \( k \).

**(b)** Utilizando o valor de \( k \) encontrado, calcule em quantos anos a quantidade de material será reduzida para 25% da quantidade inicial.

**Resolução:**

**(a)** Começamos substituindo os valores na fórmula \( M(5) = M_0 \cdot e^{-5k} \). Sabemos que \( M(5) = 0,6M_0 \):

\[
0,6M_0 = M_0 \cdot e^{-5k}
\]

Dividindo ambos os lados por \( M_0 \):

\[
0,6 = e^{-5k}
\]

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

\[
\ln(0,6) = -5k
\]

\[
k = -\frac{\ln(0,6)}{5}
\]

**(b)** Agora, queremos encontrar o tempo \( t \) para o qual \( M(t) = 0,25M_0 \):

\[
0,25M_0 = M_0 \cdot e^{-kt}
\]

Dividindo ambos os lados por \( M_0 \):

\[
0,25 = e^{-kt}
\]

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

\[
\ln(0,25) = -kt
\]

Finalmente, substituímos o valor de \( k \) encontrado na parte (a) e resolvemos para \( t \):

\[
t = -\frac{\ln(0,25)}{k}
\]

**Perguntas Relacionadas:**
1. Como a constante de decaimento \( k \) afeta a velocidade de decomposição do material?
2. O que aconteceria com o tempo necessário para que o material se decomponha completamente se \( k \) fosse maior?
3. Como a equação de decomposição mudaria se considerássemos uma taxa de decaimento que varia com o tempo?
4. Qual seria o tempo de meia-vida do material com base na constante \( k \) encontrada?
5. Como podemos modelar a decomposição de um material em camadas de solo com diferentes valores de \( k \)?

**Dica:** Lembre-se de que a constante de decaimento \( k \) é crucial para determinar a rapidez com que um material se desintegra. Quanto maior o valor de \( k \), mais rápido ocorre a decomposição.

Explore a mathematical problem involving logarithms and decay constants in soil materials. Learn how to determine decay constants and predict material decay rates over time. Suitable for high school students interested in applied mathematics.

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