Crie uma questão envolvendo logaritimico a partir da seguinte: Qual é o valor da constante de decaimento da concentração de chumbo no solo se a concentração diminui pela metade a cada 5 anos?

Aqui está uma questão baseada na situação fornecida:

**Questão:**

Um pesquisador está estudando a concentração de chumbo em uma determinada área de solo. Ele observou que a concentração de chumbo diminui pela metade a cada 5 anos. Suponha que a concentração inicial de chumbo no solo seja \(C_0\). 

1. Expresse a concentração de chumbo \(C(t)\) como uma função do tempo \(t\) em anos, usando a base natural dos logaritmos.
2. Determine a constante de decaimento \(k\) que descreve essa diminuição exponencial.

**Dado:**
- \(C(t) = C_0 \cdot e^{-kt}\), onde \(k\) é a constante de decaimento e \(t\) é o tempo em anos.
- A concentração de chumbo diminui pela metade a cada 5 anos.

**Pergunta:**
1. Qual é o valor da constante de decaimento \(k\)?

**Solução:**
1. Sabemos que \(C(5) = \frac{C_0}{2}\).
2. Substituindo na equação \(C(t)\), temos:
   \[
   \frac{C_0}{2} = C_0 \cdot e^{-5k}
   \]
   Simplificando, obtemos:
   \[
   \frac{1}{2} = e^{-5k}
   \]
3. Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
   \[
   \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -5k
   \]
   \[
   k = -\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{5}
   \]
   Como \(\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2)\), temos:
   \[
   k = \frac{\ln(2)}{5}
   \]
4. Portanto, a constante de decaimento \(k\) é \(\frac{\ln(2)}{5}\).

**Resultado:**
- A constante de decaimento \(k\) é \(\frac{\ln(2)}{5} \approx 0.1386\) por ano.

---

Deseja detalhes adicionais ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:

1. Como a constante de decaimento \(k\) seria afetada se o tempo para a concentração diminuir pela metade fosse 10 anos?
2. Como a equação \(C(t) = C_0 \cdot e^{-kt}\) mudaria se a concentração fosse reduzida a um terço a cada 5 anos?
3. Se a concentração inicial de chumbo for 100 mg/kg, qual será a concentração após 10 anos?
4. Como a função \(C(t)\) se comportaria graficamente em relação ao tempo \(t\)?
5. Como determinar a concentração inicial de chumbo se conhecermos a constante \(k\) e a concentração em um tempo específico \(t\)?

**Dica:** Quando o problema envolve decaimento ou crescimento exponencial, o uso de logaritmos naturais simplifica bastante a resolução das equações.

Explore how to calculate the decay constant and concentration of lead in soil based on its halving time. Understand the exponential decay formula using natural logarithms with detailed steps and examples. Suitable for high school students.

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