risolvere la diseuquazione log 1/2 (x2-x/x+1) >= 0



Per risolvere la disequazione \(\log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{x^2 - x}{x + 1}\right) \geq 0\), seguiamo questi passaggi:

### Passo 1: Comprendere la funzione logaritmica
Il logaritmo in base \(\frac{1}{2}\) è una funzione decrescente. Quindi, la disequazione \(\log_{\frac{1}{2}}(y) \geq 0\) è equivalente a \(y \leq 1\).

### Passo 2: Riscrivere la disequazione
Possiamo riscrivere la disequazione come:
\[
\frac{x^2 - x}{x + 1} \leq 1
\]

### Passo 3: Trasformare l'espressione
Sottraiamo 1 da entrambi i lati per ottenere:
\[
\frac{x^2 - x}{x + 1} - 1 \leq 0
\]
Riduciamo la frazione comune:
\[
\frac{x^2 - x - (x + 1)}{x + 1} \leq 0
\]
Semplificando il numeratore:
\[
\frac{x^2 - 2x - 1}{x + 1} \leq 0
\]

### Passo 4: Studio del segno della frazione
Per risolvere questa disequazione, dobbiamo studiare il segno del numeratore e del denominatore separatamente.

1. **Numeratore**: \(x^2 - 2x - 1\)
   - Le radici di questa equazione quadratica sono:
     \[
     x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}
     \]

   - Il segno del numeratore cambia in corrispondenza di \(x = 1 + \sqrt{2}\) e \(x = 1 - \sqrt{2}\).

2. **Denominatore**: \(x + 1\)
   - Il segno del denominatore cambia in corrispondenza di \(x = -1\).

### Passo 5: Determinare il segno della frazione
Esaminiamo gli intervalli definiti dalle radici:
- Per \(x < 1 - \sqrt{2}\), \(x^2 - 2x - 1 > 0\) e \(x + 1 < 0\).
- Per \(1 - \sqrt{2} < x < -1\), \(x^2 - 2x - 1 > 0\) e \(x + 1 > 0\).
- Per \(-1 < x < 1 + \sqrt{2}\), \(x^2 - 2x - 1 < 0\) e \(x + 1 > 0\).
- Per \(x > 1 + \sqrt{2}\), \(x^2 - 2x - 1 > 0\) e \(x + 1 > 0\).

### Passo 6: Soluzione finale
La disequazione \(\frac{x^2 - 2x - 1}{x + 1} \leq 0\) è soddisfatta nei seguenti intervalli:
\[
x \in [1 - \sqrt{2}, -1) \cup (-1, 1 + \sqrt{2}]
\]

Pertanto, la soluzione della disequazione è:
\[
x \in [1 - \sqrt{2}, -1) \cup (-1, 1 + \sqrt{2}]
\]

Vuoi approfondimenti su qualche parte del processo? Ecco 5 domande correlate:

1. Come si risolve una disequazione logaritmica generale?
2. Qual è il significato geometrico delle radici di un'equazione quadratica?
3. Come si studia il segno di una funzione razionale?
4. Quali proprietà dei logaritmi influenzano la risoluzione di disequazioni logaritmiche?
5. Come si rappresentano graficamente le soluzioni di una disequazione?

**Tip:** Quando risolvi una disequazione con logaritmi, ricorda di considerare le proprietà della base logaritmica.

Learn how to solve the logarithmic inequality log_{1/2}((x^2 - x)/(x + 1)) >= 0 step-by-step. This problem involves logarithmic functions, rational functions, and inequalities. Suitable for advanced high school students and anyone interested in advanced algebraic problem-solving.

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