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Para resolver la integral

\[
\int \frac{1}{x \sqrt{2x^2 - 1}} \, dx,
\]

realizaremos un cambio de variable.

### Paso 1: Cambio de variable
Podemos hacer el cambio de variable \( u = \sqrt{2x^2 - 1} \). Luego, derivamos \( u \) con respecto a \( x \) para obtener \( du \):

\[
u = \sqrt{2x^2 - 1}
\]

\[
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\sqrt{2x^2 - 1}\right) = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 - 1}}
\]

Entonces, \( du = \frac{2x \, dx}{\sqrt{2x^2 - 1}} \) y podemos despejar \( dx \):

\[
dx = \frac{du \sqrt{2x^2 - 1}}{2x}
\]

### Paso 2: Sustitución en la integral
Sustituyendo en la integral original:

\[
\int \frac{1}{x \sqrt{2x^2 - 1}} \cdot \frac{du \sqrt{2x^2 - 1}}{2x} 
\]

Simplificando:

\[
\int \frac{du}{2x^2}
\]

### Paso 3: Simplificación
Usamos la relación de \( u \) y \( x \):

\[
x^2 = \frac{u^2 + 1}{2}
\]

Entonces la integral se convierte en:

\[
\int \frac{du}{u^2 + 1}
\]

Esta es una integral conocida, cuya solución es:

\[
\arctan(u) + C
\]

### Paso 4: Volviendo a la variable original
Sustituimos \( u = \sqrt{2x^2 - 1} \):

\[
\int \frac{1}{x \sqrt{2x^2 - 1}} \, dx = \arctan\left(\sqrt{2x^2 - 1}\right) + C
\]

Por lo tanto, la solución es:

\[
\boxed{\arctan\left(\sqrt{2x^2 - 1}\right) + C}
\]

¿Te gustaría algún detalle adicional sobre los pasos o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se elige un buen cambio de variable para integrar?
2. ¿Qué otras técnicas de integración son útiles para este tipo de integrales?
3. ¿Qué significa la constante de integración \( C \) y por qué es importante?
4. ¿Cómo se derivan funciones que implican raíces cuadradas y potencias?
5. ¿Cómo se resuelven integrales que involucran funciones trigonométricas?

### Tip:
Recuerda que reconocer patrones en las integrales es clave para seleccionar la técnica de integración más eficiente.

Learn how to solve the integral ∫(1 / (x √(2x^2 - 1))) dx with a detailed step-by-step solution. This problem involves integral calculus and the substitution method. Suitable for university-level mathematics.

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