Claro, resolvamos la integral utilizando el método de sustitución.

La integral original es:

\[
\int \frac{dx}{(x + 1) \sqrt{x^2 + 2x + 1}}
\]

### Paso 1: Simplificar la expresión dentro de la raíz

Primero, recordemos que:

\[
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
\]

Por lo tanto, la integral se convierte en:

\[
\int \frac{dx}{(x + 1) \sqrt{(x + 1)^2}} = \int \frac{dx}{(x + 1) |x + 1|}
\]

### Paso 2: Realizar la sustitución

Hacemos la sustitución \( u = x + 1 \). Entonces, \( du = dx \), y la integral se convierte en:

\[
\int \frac{du}{u |u|}
\]

### Paso 3: Considerar el valor absoluto

Debemos considerar los dos casos para el valor absoluto \(|u|\):

1. **Caso 1:** \(u \geq 0\) (es decir, \(x \geq -1\))

   En este caso, \(|u| = u\), y la integral se convierte en:

   \[
   \int \frac{du}{u \cdot u} = \int \frac{du}{u^2}
   \]

   La integral de \(\frac{1}{u^2}\) es:

   \[
   \int u^{-2} du = -\frac{1}{u} + C
   \]

   Sustituyendo \(u = x + 1\), obtenemos:

   \[
   -\frac{1}{x + 1} + C
   \]

2. **Caso 2:** \(u < 0\) (es decir, \(x < -1\))

   En este caso, \(|u| = -u\), y la integral se convierte en:

   \[
   \int \frac{du}{u(-u)} = \int -\frac{du}{u^2}
   \]

   La integral de \(-\frac{1}{u^2}\) es:

   \[
   \int -u^{-2} du = \frac{1}{u} + C
   \]

   Sustituyendo \(u = x + 1\), obtenemos:

   \[
   \frac{1}{x + 1} + C
   \]

### Respuesta Final

Por lo tanto, la solución final usando el método de sustitución es:

\[
\int \frac{dx}{(x + 1) \sqrt{x^2 + 2x + 1}} = 
\begin{cases}
-\frac{1}{x + 1} + C & \text{si } x \geq -1 \\
\frac{1}{x + 1} + C & \text{si } x < -1
\end{cases}
\]

¿Tienes alguna duda o quieres más detalles?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué otras integrales se pueden resolver con el método de sustitución?
2. ¿Cómo se elige la sustitución adecuada en una integral?
3. ¿Qué sucede si intentamos una sustitución diferente en esta integral?
4. ¿Cómo se manejan los valores absolutos en integrales más complicadas?
5. ¿Por qué es importante considerar el signo de \(u\) al usar valores absolutos?
6. ¿Qué otras técnicas se pueden combinar con la sustitución para resolver integrales complejas?
7. ¿Cómo resolver integrales definidas cuando hay valores absolutos involucrados?
8. ¿Cuáles son algunos ejemplos de sustituciones trigonométricas en integrales?

**Consejo:** Al utilizar sustitución en integrales, siempre recuerda regresar a la variable original al final del proceso para obtener la solución en términos de la variable inicial.

Learn how to solve the integral \( \int \frac{dx}{(x + 1) \sqrt{x^2 + 2x + 1}} \) using the substitution method. This detailed guide covers simplifying the expression, performing the substitution, and handling absolute values in integrals. Suitable for advanced high school students and anyone interested in calculus.

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