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Para resolver la ecuación diferencial que has proporcionado, vamos a seguir los siguientes pasos.

La ecuación diferencial es:

\[ y'' - 6y' + 13y = 0 \]

y también se da una solución de la forma:

\[ y = e^{3x} \cos(2x) \]

### Paso 1: Determinar la solución general de la ecuación homogénea

Primero, resolveremos la ecuación diferencial homogénea:

\[ y'' - 6y' + 13y = 0 \]

El primer paso es encontrar la ecuación característica asociada, que es:

\[ r^2 - 6r + 13 = 0 \]

### Paso 2: Resolver la ecuación característica

Para resolver la ecuación cuadrática, utilizamos la fórmula general:

\[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

En este caso, \(a = 1\), \(b = -6\), y \(c = 13\). Así que:

\[ r = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(13)}}{2(1)} \]

\[ r = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2} \]

\[ r = \frac{6 \pm \sqrt{-16}}{2} \]

\[ r = \frac{6 \pm 4i}{2} \]

\[ r = 3 \pm 2i \]

Así que las raíces son \(r_1 = 3 + 2i\) y \(r_2 = 3 - 2i\).

### Paso 3: Escribir la solución general

Dado que las raíces son complejas, la solución general de la ecuación diferencial homogénea es:

\[ y(x) = e^{3x}(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)) \]

Donde \(C_1\) y \(C_2\) son constantes arbitrarias.

### Paso 4: Verificar la solución particular

La solución propuesta \( y = e^{3x} \cos(2x) \) corresponde a una combinación de la parte real de la solución general. Para verificar, basta observar que:

- La forma propuesta es un caso particular de la solución general.
- Al comparar con la solución general, podemos ver que esta forma corresponde a \( C_1 = 1 \) y \( C_2 = 0 \).

### Conclusión:

La solución general de la ecuación es:

\[ y(x) = e^{3x}(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)) \]

Donde la solución particular dada en la pregunta es \( y(x) = e^{3x} \cos(2x) \), lo que corresponde a un caso particular de la solución general.

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¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí hay 5 preguntas relativas que podrías explorar:

1. ¿Cómo se aplica la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas?
2. ¿Por qué la solución general para raíces complejas incluye senos y cosenos?
3. ¿Qué significan las constantes \(C_1\) y \(C_2\) en la solución general?
4. ¿Cómo se verifica una solución particular dentro de la solución general?
5. ¿Qué papel juega la función exponencial en la solución de la ecuación diferencial?

**Tip:** Siempre verifica si la solución particular que te proporcionan corresponde a una combinación lineal de las soluciones fundamentales de la ecuación homogénea.

Learn how to solve the differential equation y'' - 6y' + 13y = 0 step-by-step. This problem involves complex numbers and exponential functions, with an example solution y(x) = e^{3x}(C_1 cos(2x) + C_2 sin(2x)). Suitable for college-level mathematics.

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