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La ecuación diferencial que has proporcionado es:

\[
x y'' - y' - 2(2x - 1)y = 0
\]

Vamos a resolverla paso a paso. Es una ecuación diferencial de segundo orden, y parece ser de coeficientes variables. Observamos que el término \( y'' \) está multiplicado por \( x \), lo cual nos sugiere intentar el método de *ecuaciones de Cauchy-Euler* o hacer un cambio de variable.

### Paso 1: Reescribir la ecuación
Primero expandimos los términos:

\[
x y'' - y' - 4x y + 2y = 0
\]

### Paso 2: Solución de la ecuación homogénea
Este tipo de ecuaciones a menudo se resuelve proponiendo una solución de la forma:

\[
y(x) = x^r
\]

Sustituyamos \( y = x^r \) en la ecuación:

1. Derivada primera: \( y' = r x^{r-1} \)
2. Derivada segunda: \( y'' = r(r-1) x^{r-2} \)

Ahora sustituimos en la ecuación:

\[
x \cdot r(r-1) x^{r-2} - r x^{r-1} - 4x \cdot x^r + 2x^r = 0
\]

Simplificamos:

\[
r(r-1) x^{r-1} - r x^{r-1} - 4x^{r+1} + 2x^r = 0
\]

Agrupamos términos:

\[
r(r-1) x^{r-1} - r x^{r-1} + (2 - 4x) x^r = 0
\]

Voy a continuar el proceso para determinar la solución general.La solución general de la ecuación diferencial es:

\[
y(x) = C_1 \left( x^2 \left( -\frac{4x^3}{15} + \frac{2x^2}{3} - \frac{2x}{3} + 1 \right) \right) + C_2 \left( \frac{4x^5}{5} - \frac{2x^4}{3} + \frac{8x^3}{3} + 2x + 1 \right) + O(x^6)
\]

Donde \(C_1\) y \(C_2\) son constantes de integración.

Esta es una solución aproximada, expandida en términos de potencias de \(x\).

¿Te gustaría detalles adicionales o resolver alguna duda sobre este método?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué es una ecuación de Cauchy-Euler y cómo se relaciona con esta?
2. ¿Cómo se puede verificar la solución de una ecuación diferencial de segundo orden?
3. ¿Qué otros métodos podrían usarse para resolver ecuaciones de este tipo?
4. ¿Qué ocurre si las condiciones iniciales fueran dadas?
5. ¿Cómo se interpretan las constantes de integración en una solución general?

**Tip:** En ecuaciones diferenciales, cuando se incluyen condiciones iniciales, puedes determinar los valores exactos de \(C_1\) y \(C_2\).

Resuelve esta ecuación diferencial: x y'' - y' - 2(2x - 1)y = 0

Learn how to solve the second-order differential equation x y'' - y' - 2(2x - 1)y = 0. The problem involves the Cauchy-Euler method and variable coefficients. Suitable for undergraduate math students.

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